Задачі до розділу 3.2

Задача 3.2.1

На базі зберігається однотипна продукція трьох підприємств, причому 30% - продукція I підприємства, 50% - продукція II підприємства, 20% - продукція III підприємства. Якісна продукція I підприємства складає 95%, II підприємства – 80%, III підприємства -70%. Знайти ймовірність того, що навмання обрана одиниця продукції буде якісною.

Рішення

Подія А - навмання обрана одиниця продукції буде якісною.

Можливі наступні гіпотези:

- обрана продукція належить I підприємству;

- обрана продукція належить II підприємству;

- обрана продукція належить III підприємству.

За умовою задачі, ймовірності цих гіпотез наступні:

;

;

.

Умовна ймовірність того, що одиниця продукції якісна, якщо вона виготовлена на I підприємстві буде

.

Умовна ймовірність того, що одиниця продукції якісна, якщо вона виготовлена на II підприємстві буде

.

Умовна ймовірність того, що одиниця продукції якісна, якщо вона виготовлена на III підприємстві буде

.

Ймовірність того, що навмання обрана одиниця продукції буде якісною, визначається за формулою повної ймовірності

,

.

Задача 3.2.2

У інформаційному центрі є комп’ютери двох фірм-виробників. Ймовірність того, що під час виконання розрахунків за деякою програмою комп’ютер першої фірми-виробника вийде з ладу 0,05, другої 0,2. Науковець робить розрахунки на навмання обраному комп’ютері. Знайти ймовірність того, що до кінця виконання розрахунків комп’ютер не вийде з ладу.

Задача 3.2.3

У першій урні знаходиться 10 кульок, з яких 8 білих, у другій урні – 20 кульок, з яких 4 білі. З кожної урни навмання вилучили по одній кульці а потім з цих двох кульок навмання обрано одну. Знайти ймовірність того, що обрано білу кульку.

Розділ 3.3. Ймовірність гіпотез. Формули Бейєса

Нехай проведено випробування за результатами якого з’явилася подія А . Знайдемо умовні ймовірності (ймовірність того, що подія відбудеться, якщо подія А вже відбулася). Наприклад, для події

,

,

де - повна ймовірність.

У загальному вигляді

, (3.4)

де

Одержану формулу (3.4) називають формулою Бейєса (за ім’ям англійського математика, який вивів цю формулу і опублікував у 1764 році). Формула Бейєса дозволяє переоцінити ймовірність гіпотез після того, як стане відомим результат випробування, тобто з’явиться подія А.

Наприклад: Деталі, що виготовляє цех заводу попадають на перевірку на стандартність до одного з двох контролерів. Ймовірність того, що деталь попаде до першого контролера, дорівнює 0,55, а до другого – 0,45. Ймовірність того, що деталь буде названо стандартною першим контролером – 0,95, а другим – 0,98. Деталь при перевірці було названо стандартною. Знайти ймовірність того, що цю деталь перевірив перший контролер.