Проверка статистических гипотез

Выборку измерений часто используют для проверки гипотез относительно либо вида распределения генеральной совокупности, либо характеристик уже известного распределения.

Выдвигаемую и проверяемую гипотезу называют нулевой и обозначают её через . Наряду с гипотезой рассматривают также одну из конкурирующих гипотез . Например, если проверяется гипотеза о равенстве характеристики некоторому заданному значению , то есть , то в качестве конкурирующей гипотезы можно рассмотреть гипотезу .

Выдвинутая гипотеза может соответствовать истине или нет. При проверке гипотезыпо результатам выборки могут быть допущены ошибки двух родов: 1) ошибка первого рода - правильная гипотеза, но принимаем ; 2) ошибка второго рода - правильная гипотеза, но принимаем . Вероятность совершить ошибку первого рода называется уровнем значимости . Обычно берут .

Правило, по которому проверяется гипотеза, называется критерием. Критерий проверки гипотезы реализуется следующим образом: 1) строится некоторая случайная величина , которая имеет известный закон распределения при условии правильности гипотезы ; 2) по заданному уровню значимости находят такую точку , что ; 3) если значение , то принимается гипотеза.

Множество называется областью принятия гипотезы. Множество называется критической областью. Точка , разделяющая эти области, называются критической точкой.

Для проверки гипотезы относительно вида распределения генеральной совокупности часто используют критерий Пирсона (хи-квадрат критерий).

Пусть дана выборка случайной величины объёма . По этой выборке составлен интервальный вариационный ряд:

интервалы				…
				…

Если случайная величина с известной плотностью распределения, то можно найти вероятности . Проверим гипотезу , где и .

Теорема Пирсона. Если гипотеза правильная, то случайная величина имеет распределение Пирсона с степенью свободы, то есть плотность распределения имеет вид .

Для распределения Пирсона существуют таблицы. По заданному уровню значимости можно определить критическую точку , что .

Если , то принимаем гипотезу .

Задача 11. Дана выборка случайной величины - срок службы электронных ламп:

13;14;15;15;13;8;14;17;15;16;16;14;16;14;11;16;15;16;14;18;11;13;18;12;17;14;16;13;

15;16;8;14;15;11;10;16;15;16;12;14;17;14;16;17;10;15;18;17;12;20;13;14;15;21;14;17;15;10;

18;17;15;16;17;12;19;8;14.

Проверить гипотезу - случайная величина имеет нормальный закон распределения.

Решение.

Построим интервальный вариационный ряд:

интервалы

Так как и , то вариационный ряд имеет вид:

интервалы

Пусть случайная величина с плотностью распределения .

Тогда , , , .

Составим случайную величину и найдём её значение:

.

Для уровня значимости по таблице Пирсона найдём критическую точку .

Так как , то принимаем гипотезу .