Полная вероятность. Формула Байеса
Предположим, что событие может произойти только при появлении одного из взаимно исключающих друг друга событий (гипотез) .
В этом случае вероятность события находят по формуле полной вероятности:
.
Если до испытания вероятности гипотез были , ,…, , то после проведения испытания, в результате которого появилось событие , вероятности гипотез можно переоценить по формуле Байеса:
.
Задача 5. Имеется три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 5 чёрных, во второй – 5 белых и 4 чёрных, в третьей – 6 белых шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из неё шар. Найти вероятность того, что: а) этот шар окажется белым; б) белый шар вынут из второй урны.
Решение.
а) Пусть событие - извлечён белый шар. Рассмотрим три гипотезы: - выбрана первая урна, - выбрана вторая урна, - выбрана третья урна.
По формуле полной вероятности получим:
.
б) Для определения вероятности того, что белый шар извлечён из второй урны, воспользуемся формулой Байеса:
.