Полная вероятность. Формула Байеса

Предположим, что событие может произойти только при появлении одного из взаимно исключающих друг друга событий (гипотез) .

В этом случае вероятность события находят по формуле полной вероятности:

.

Если до испытания вероятности гипотез были , ,…, , то после проведения испытания, в результате которого появилось событие , вероятности гипотез можно переоценить по формуле Байеса:

.

Задача 5. Имеется три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 5 чёрных, во второй – 5 белых и 4 чёрных, в третьей – 6 белых шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из неё шар. Найти вероятность того, что: а) этот шар окажется белым; б) белый шар вынут из второй урны.

Решение.

а) Пусть событие - извлечён белый шар. Рассмотрим три гипотезы: - выбрана первая урна, - выбрана вторая урна, - выбрана третья урна.

По формуле полной вероятности получим:

.

б) Для определения вероятности того, что белый шар извлечён из второй урны, воспользуемся формулой Байеса:

.