Теория вероятностей

аудиторные часы -–4 часа

самостоятельная работа – 2 часа

§1. Краткие теоретические сведения

Комбинаторика -–раздел математики, в котором изучаются за­дачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечно­го множества. В каждой из них требуется подсчитать число возмож­ных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами?».

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью сле­дующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Правило умножения (основной принцип):если из некоторого ко­нечного множества первый объект (элемент ) можно выбрать спо­собами и после каждого такого выбора второй объект (элемент ) мож­но выбрать способами, то оба объекта ( и ) в указанном порядке можно выбрать способами.

Этот принцип, очевидно, распространяется на случай трех и более объектов.

Правило суммы.Если некоторый объект можно выбрать спосо­баяя а объект можно выбрать способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов ( или ), можно выбрать способами.

Это правило распространяется на любое конечное число объектов.

Решение вероятностных (и не только их) задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них опреде­ляет число всевозможных исходов в некотором опыте (эксперименте), состоящем в выборе наудачу элементов из различных элементов рассматриваемого множества.

Существуют две схемы выбора элементов из исход­ного множества: без возвращения (без повторений) и с возвращением (с повторением). В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все элементов или последовательно отбирать их по одному. Во второй схеме выбор осуществляется поэле­ментно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге. Мы рассмотрим только первую схему.

Пусть дано множество, состоящее из различных элементов.

Размещениями из элементов по элементов на­зываются соединения, каждое из которых состоит из элементов, взятых из данных элементов. При этом размещения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком.

Число размещений из элементов по элементов обозначается символом и вычисляется по формуле

(1)

или

, где , . (2)

Для составления размещения надо выбрать элементов из множества с элементами и упорядочить их, т. е. заполнить мест элементами множества. Первый элемент можно выбрать способами, т. е. на первое место можно поместить любой из элементов. После этого второй элемент можно выбрать из оставшихся элементов способами. Для выбора третьего элемента имеется способа, четвертого - способа, и, наконец, для последнего -го элемен­та - способов. Таким образом, по правилу умножения, существует способов выбора элементов из данных элементов, т. е. .

Перестановкамииз элементов называются раз­мещения из элементов по элементов, отличающиеся друг от друга лишь порядком элементов.

Число перестановок из эле­ментов обозначается символом и вычисляется по фор­муле

.

Сочетаниямииз элементов по элементов на­зываются соединения, каждое из которых состоит из элементов, взя­тых из данных элементов. Эти соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений, порядок следования элементов здесь не учитывается.

Число сочетаний из элементов по элементов обозначается сим­волом и вычисляется по формуле

.

Предметтеории вероятностей -–изучение вероятност­ных закономерностей, возникающих при рассмотрении массо­вых однотипных случайных событий.

Событие-–это любое явление, в отношении которого имеет смысл говорить, наступило оно или не наступило, в ре­зультате определенного комплекса условий или случайного эксперимента. Обозначаются события заглавными латинскими буквами .

Примерами случайного эксперимента являются подбрасы­вание монеты, извлечение одной карты из перетасованной ко­лоды, подсчет числа автомобилей в очереди на бензоколонке в данный момент и т.д.

Вероятностью события называется отношение числа – элементарных исходов испытания, благоприятствующих наступлению события , к числу – всех возможных элементарных исходов испытания.

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Можно выделить следующие виды случайных событий:

Событие называется достоверным,если оно обязательно происходит при каждом осуществлении определенной сово­купности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпадение не менее одного и не более шести очков является достоверным событием. Вероятность достоверного события равна единице: .

Событие называется невозможным,если оно заведомо не произойдет ни при одном осуществлении данной совокупности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпа­дение больше шести очков является невозможным событием. Вероятность невозможного события равна нулю: .

Событие называется случайным,если оно может про­изойти, а может и не произойти при осуществлении данной совокупности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпадение любого из шести очков является случай­ным событием.

События называются несовместными, если их одновре­менное появление при осуществлении комплекса условий невозможно, т.е. появление события в данном испытании исключает появление события в этом же испытании. На­пример, если из урны с черными и белыми шарами случайным образом извлекается шар ·черного цвета, то его появление ис­ключает извлечение белого шара в этой же попытке.

События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием. Например, если стрелок произвел выстрел по цели, то обязательно произойдет одно из двух событий -–попадание или промах. Эти события единст­венно возможные.

События называются равновозможными, если есть осно­вания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие. Например, появление герба и появ­ление надписи при бросании монеты есть события равновоз­можные, потому что предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндриче­скую форму, и наличие чеканки не влияет на выпадение той или иной стороны монеты.

Если событие - какое-либо событие, то событие, со­стоящее в том, что событие не наступило, называется про­тивоположным событию и обозначается как .

События, происходящие при реализации определенного комплекса условий или в результате случайного эксперимен­та, называются элементарными исходами.

Считается, что при проведении случайного эксперимента реализуется только один из возможных элементарных исходов.

§2. Практическая часть

Примеры

1.В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те бро­са­ют две иг­раль­ные кости. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 10 очков. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.
Ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство ис­хо­дов, при ко­то­рых в ре­зуль­та­те брос­каиг­раль­ных ко­стей вы­па­дет 10 очков, равно 3: 4+6, 5+5, 6+4. Каж­дый из ку­би­ков может вы­пасть ше­стью ва­ри­ан­та­ми, по­это­му общее число ис­хо­дов равно 6·6 = 36. Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 10 очков, равна

Ответ: 0,08.

2.В сбор­ни­ке би­ле­тов по ма­те­ма­ти­ке всего 25 би­ле­тов, в 10 из них встре­ча­ет­ся во­прос по не­ра­вен­ствам. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по не­ра­вен­ствам.

Ре­ше­ние.

Из 25 би­ле­тов 15 не со­дер­жат во­про­са по не­ра­вен­ствам, по­это­му ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по не­ра­вен­ствам, равна

Ответ: 0,6.

3.В груп­пе ту­ри­стов 30 че­ло­век. Их вер­толётом в не­сколь­ко приёмов за­бра­сы­ва­ют в труд­но­до­ступ­ный район по 6 че­ло­век за рейс. По­ря­док, в ко­то­ром вер­толёт пе­ре­во­зит ту­ри­стов, слу­ча­ен. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ту­рист П. по­ле­тит пер­вым рей­сом вер­толёта.
Ре­ше­ние.

На пер­вом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда ве­ро­ят­ность того, что ту­рист П. по­ле­тит пер­вым рей­сом вер­толёта, равна:

Ответ: 0,2.

4.В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 35 машин: 11 крас­ных, 17 фи­о­ле­то­вых и 7 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­це. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ней при­е­дет зе­ле­ное такси.
Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что к за­каз­чи­це при­е­дет зе­ле­ное такси равна

.

Ответ: 0,2.

5.Люба вклю­ча­ет те­ле­ви­зор. Те­ле­ви­зор вклю­ча­ет­ся на слу­чай­ном ка­на­ле. В это время по шести ка­на­лам из со­ро­ка вось­ми по­ка­зы­ва­ют до­ку­мен­таль­ные филь­мы. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Люба по­па­дет на канал, где до­ку­мен­таль­ные филь­мы не идут.
Ре­ше­ние.

До­ку­мен­таль­ные филь­мы не идут по 48 – 6 = 42 ка­на­лам. Тогда ве­ро­ят­ность того, что Люба по­па­дет на канал, где до­ку­мен­таль­ные филь­мы не идут, равна

.

Ответ: 0,875.

6.Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по бад­мин­то­ну участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 26 бад­мин­то­ни­стов, среди ко­то­рых 10 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Рус­лан Орлов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии?
Ре­ше­ние.

В пер­вом туре Рус­лан Орлов может сыг­рать с 26 −–1 = 25 бад­мин­то­ни­ста­ми, из ко­то­рых 10 −–1 = 9 из Рос­сии. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Рус­лан Орлов будет иг­рать с каким-либо бад­мин­то­ни­стом из Рос­сии, равна

Ответ: 0,36.

7.В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что орел вы­па­дет ровно один раз.
Ре­ше­ние.

Рав­но­воз­мож­ны 4 ис­хо­да экс­пе­ри­мен­та: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Орел вы­па­да­ет ровно один раз в двух слу­ча­ях: орел-решка и решка-орел. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что орел вы­па­дет ровно 1 раз, равна

.

Ответ: 0,5.

8.В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют 3 спортс­ме­на из Ма­ке­до­нии 9 спортс­ме­нов из Сер­бии, 8 спортс­ме­нов из Хор­ва­тии и 10 — из Сло­ве­нии По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Сер­бии.
Ре­ше­ние.

Всего в со­рев­но­ва­ни­ях при­ни­ма­ет уча­стие спортс­ме­нов. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Сер­бии, равна

Ответ: 0,3.

9.Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 160 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся че­ты­ре сумки со скры­ты­ми де­фек­та­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.
Ре­ше­ние.

По усло­вию на каж­дые 160 + 4 = 164 сумки 160 сумок — ка­че­ствен­ные. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной, равна

Ответ: 0,98.

10.В фирме такси в на­ли­чии 50 лег­ко­вых ав­то­мо­би­лей; 27 из них чёрные с жёлтыми над­пи­ся­ми на бор­тах, осталь­ные — жёлтые с чёрными над­пи­ся­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на слу­чай­ный вызов при­е­дет ма­ши­на жёлтого цвета с чёрными над­пи­ся­ми.
Ре­ше­ние.

Машин жел­то­го цвета с чер­ны­ми над­пи­ся­ми 23, всего машин 50. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что на слу­чай­ный вызов при­е­дет ма­ши­на жел­то­го цвета с чер­ны­ми над­пи­ся­ми, равна:

Ответ: 0,46.

Домашняя работа № 17

1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

2. В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.

3. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

4. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 80 качественных сумок приходится одна сумка со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

5. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Эстонии, 6 спортсменов из Латвии, 3 спортсмена из Литвы и 7 — из Польши. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Литвы.

6. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 40 докладов — первые два дня по 11 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

7. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 34 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

8. В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 20 машин: 10 чер­ных, 2 жел­тых и 8 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­це. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ней при­е­дет зе­ле­ное такси.

9. На та­рел­ке 16 пи­рож­ков: 7 с рыбой, 5 с ва­ре­ньем и 4 с виш­ней. Юля на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с виш­ней.

10. Из мно­же­ства на­ту­раль­ных чисел от 25 до 39 на­уда­чу вы­би­ра­ют одно число. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что оно де­лит­ся на 5?

Глава X. Повторение

аудиторные часы -–4 часа

самостоятельная работа – 2 часа

Примеры

ВАРИАНТ №1

Задание 1

В лет­нем ла­ге­ре 189 детей и 27 вос­пи­та­те­лей. В ав­то­бус по­ме­ща­ет­ся не более 28 пас­са­жи­ров. Сколь­ко ав­то­бу­сов тре­бу­ет­ся, чтобы пе­ре­вез­ти всех из ла­ге­ря в город?
Ре­ше­ние.

Всего в ла­ге­ре 189 + 27 = 216 чел. Раз­де­лим 216 на 28:

.

Зна­чит, чтобы пе­ре­вез­ти всех из ла­ге­ря в город, по­на­до­бит­ся 8 ав­то­бу­сов.

Ответ: 8.

↑ Задание 2

Ша­ри­ко­вая ручка стоит 30 руб­лей. Какое наи­боль­шее число таких ручек можно будет ку­пить на 300 руб­лей после по­вы­ше­ния цены на 25%?
Ре­ше­ние.

После по­вы­ше­ния цены ручка ста­нет сто­ить 30 + 0,25 30=37,5 рубля. Раз­де­лим 300 на 37,5:

.

Зна­чит, можно будет ку­пить 8 ручек.

Ответ: 8.

Задание 3

На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние вы­плав­ки цинка (в ты­ся­чах тонн) в 11 стра­нах мира за 2009 год. Среди пред­став­лен­ных стран пер­вое место по вы­плав­ке цинка за­ни­ма­ли США, один­на­дца­тое место — Иран. Какое место за­ни­ма­ла Ка­на­да?

Ре­ше­ние.

Рас­по­ло­жим стра­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния ко­ли­че­ства вы­плав­ки цинка в год:

1) США

2) Ка­на­да

3) Индия

4) Ка­зах­стан

5) Бо­ли­вия

6) Мек­си­ка7) Ир­лан­дия

8) Рос­сия

9) Шве­ция

10) Бра­зи­лия

11) Иран

Ка­на­да на­хо­дит­ся на вто­ром месте

Ответ: 2.

↑ Задание 4

Те­ле­фон­ная ком­па­ния предо­став­ля­ет на выбор три та­риф­ных плана.

Або­нент вы­брал наи­бо­лее де­ше­вый та­риф­ный план, ис­хо­дя из пред­по­ло­же­ния, что общая дли­тель­ность те­ле­фон­ных раз­го­во­ров со­став­ля­ет 600 минут в месяц. Какую сумму он дол­жен за­пла­тить за месяц, если общая дли­тель­ность раз­го­во­ров в этом ме­ся­це дей­стви­тель­но будет равна 600 минут? Ответ дайте в руб­лях.
Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим три слу­чая.

На та­риф­ном плане «По­вре­мен­ный» еже­ме­сяч­ная плата будет равна 600 0,4 = 240 руб.

На та­риф­ном плане «Ком­би­ни­ро­ван­ный» еже­ме­сяч­ная плата будет скла­ды­вать­ся из або­нент­ской 160 руб. и платы за 200 мин. сверх та­ри­фа 200 0,3 = 60 руб. Всего 160 + 60 = 220 руб.

На та­риф­ном плане «Без­ли­мит­ный» еже­ме­сяч­ная плата равна 285 руб.

Сто­и­мость са­мо­го де­ше­во­го ва­ри­ан­та со­став­ля­ет 220 руб­лей.

Ответ: 220.

Задание 5

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­каравна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

см².

Ответ: 6.

↑ Задание 6

Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по шаш­кам участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 36 ша­ши­стов, среди ко­то­рых 15 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Ев­ге­ний Ко­ро­тов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Ев­ге­ний Ко­ро­тов будет иг­рать с каким-либо ша­ши­стом из Рос­сии?
Ре­ше­ние.

В пер­вом туре Ев­ге­ний Ко­ро­тов может сыг­рать с ша­ши­ста­ми, из ко­то­рых 14 — из Рос­сии. Зна­чит ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Ев­ге­ний Ко­ро­тов будет иг­рать с каким-либо ша­ши­стом из Рос­сии, равна

Ответ: 0,4.

Задание 7

Най­ди­те корни урав­не­ния: В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Зна­че­ни­ям со­от­вет­ству­ют по­ло­жи­тель­ные корни.

Если , то и .

Если , то и .

Зна­че­ни­ям со­от­вет­ству­ют мень­шие зна­че­ния кор­ней.

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим от­ри­ца­тель­ным кор­нем яв­ля­ет­ся число .

Ответ: −0,125.

Задание 8

В тре­уголь­ни­ке , – вы­со­та, , . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Ответ: 4.

Задание 9

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.
Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−4; −13), B (7; 8), C (7; −13). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу BAC

<center< center="»»

Ответ: 1,75.

Задание 10

Даны два шара. Диа­метр пер­во­го шара в 8 раз боль­ше диа­мет­ра вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди по­верх­но­стей шаров от­но­сят­ся как квад­ра­ты их ра­ди­у­сов, по­это­му:

.

Ответ: 64.

Задание 11

Най­ди­те , если .

Ре­ше­ние.

Спо­соб 1: . Тогда:

.

Спо­соб 2: По­де­лим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби на :

.

Ответ: 5.

↑ Задание 12

В бо­ко­вой стен­ке вы­со­ко­го ци­лин­дри­че­ско­го бака у са­мо­го дна за­креплeн кран. После его от­кры­тия вода на­чи­на­ет вы­те­кать из бака, при этом вы­со­та стол­ба воды в нeм, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну , где – на­чаль­ный уро­вень воды, м/мин², и м/мин по­сто­ян­ные, – время в ми­ну­тах, про­шед­шее с мо­мен­та от­кры­тия крана. В те­че­ние ка­ко­го вре­ме­ни вода будет вы­те­кать из бака? Ответ при­ве­ди­те в ми­ну­тах.
Ре­ше­ние.

Фор­му­лой, опи­сы­ва­ю­щей умень­ше­ние вы­со­ты стол­ба воды с те­че­ни­ем вре­ме­ни яв­ля­ет­ся

.

Вода будет вы­те­кать из бака, пока её на­чаль­ный уро­вень не по­ни­зит­ся до нуля. Опре­де­лим тре­бу­е­мое на это время, решая урав­не­ние :

Это озна­ча­ет, что по про­ше­ствии 20 минут вся вода вы­те­чет из бака.

Ответ: 20.

Задание 13

Объем шара равен 288 . Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти, де­лен­ную на .

Ре­ше­ние.

Объем шара ра­ди­у­са вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле , от­ку­да

.

Пло­щадь его по­верх­но­сти:

.

Ответ: 144.

↑ Задание 14

В сосуд, со­дер­жа­щий 8 лит­ров 11-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 3 литра воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?
Ре­ше­ние.

Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра равна

.

Объем ве­ще­ства в ис­ход­ном рас­тво­ре равен литра. При до­бав­ле­ная3 лит­ров воды общий объем рас­тво­ра уве­ли­чит­ся, а объем рас­тво­рен­но­го ве­ще­ства оста­нет­ся преж­ним. Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра равна:

.

Ответ: 8

Задание 15

Най­ди­те точку ми­ни­му­мафунк­ции .
Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

.

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма .

Ответ: 4.

ВАРИАНТ № 2

Задание 1

По та­риф­но­му плану «Про­сто как день» ком­па­ния со­то­вой связи каж­дый вечер сни­ма­ет со счёта або­нен­та 16 руб. Если на счету оста­лось мень­ше 16 руб., то на сле­ду­ю­щее утро номер бло­ки­ру­ют до по­пол­не­ния счёта. Се­год­ня утром у Лизы на счету было 300 руб. Сколь­ко дней (вклю­чая се­го­дняш­ний) она смо­жаяяполь­зо­вать­ся те­ле­фо­ном, не по­пол­няя счёт?

Ре­ше­ние.

300/16 = 18,75, но так как 75% от 16 руб­лей (т. е. 12 руб­лей) не хва­тит, чтобы опла­тить день об­ще­ния -–де­ла­ем вывод, что Лизе этих денег хва­тит на 18 дней.

Ответ: 18

Задание 2

В школе 171 уче­ник изу­чал фран­цуз­ский язык, что со­став­ля­ет 36% от числа всех уче­ни­ков. Сколь­ко уче­ни­ков учит­ся в школе?
Ре­ше­ние.

Раз­де­лим 171 на 0,36:

.

Зна­чит, в школе учит­ся 475 уче­ни­ков.

Задание 3

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена зо­ло­та, уста­нов­лен­ная Цен­тро­бан­ком РФ во все ра­бо­чие дни в ок­тяб­ре 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — цена зо­ло­та в руб­лях за грамм. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, сколь­ко дней за ука­зан­ный пе­ри­од цена зо­ло­та была ровно 1010 руб­лей за грамм.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­кавидно, что 2 дня из ука­зан­но­го пе­ри­о­да цена зо­ло­та была ровно 1010 руб­лей за грамм.

Ответ: 2.

Задание 4

В пер­вом банке один ав­стра­лий­ский дол­лар можно ку­пить за 28,6 рубля. Во вто­ром банке 120 дол­ла­ров — за 3420 руб­лей. В тре­тьем банке 40 дол­ла­ров стоят 1148 руб­лей. Какую наи­мень­шую сумму (в руб­лях) при­дет­ся за­пла­тить за 30 ав­стра­лий­ских дол­ла­ров?
Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

В пер­вом банке 30 ав­стра­лий­ских дол­ла­ров будут сто­ить 28,6 30 = 858 руб.

Во вто­ром банке 30 ав­стра­лий­ских дол­ла­ров стоят 3420 : 4 = 855 руб.

В тре­тьем банке 1 ав­стра­лий­ский дол­лар стоит 1148 : 40 = 28,7 руб. Зна­чит, 30 ав­стра­лий­ских дол­ла­ров будут сто­ить 28,7 30 = 861 руб.

Ответ: 855.

Задание 5

Точки O(0; 0), B(8; 2), C(2; 6) и A яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма Най­ди­те абс­цис­су точки A.

Ре­ше­ние.

Пусть точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ков OA и BC. Ко­ор­ди­на­ты точки P вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

, ,

но с дру­гой сто­ро­ны,

, .

По­это­му , .

Ответ: 10.

Задание 6

Если гросс­мей­стер А. иг­ра­ет бе­лы­ми, то он вы­иг­ры­ва­ет у гросс­мей­сте­ра Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,52. Если А. иг­ра­ет чер­ны­ми, то А. вы­иг­ры­ва­ет у Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Гросс­мей­сте­ры А. и Б. иг­ра­ют две пар­тии, при­чем во вто­рой пар­тии ме­ня­ют цвет фигур. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. вы­иг­ра­ет оба раза.

Ре­ше­ние.

Воз­мож­ность вы­иг­рать первую и вто­рую пар­тию не за­ви­сят друг от друга. Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей: 0,52 · 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156.

Задание 7

Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Ре­ше­ние.

Пе­ре­ве­дем число в пра­вой части урав­не­ния в не­пра­виль­ную дробь и умно­жим обе части урав­не­ния на 3, по­лу­ча­ем:

Ответ: −7.

Задание 8

В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, ко­си­нус внеш­не­го угла при вер­ши­не равен , . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

так как

Ответ: 2.

Задание 9

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах,t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 6 с.

Ре­ше­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:

м/с.

Тогда на­хо­дим:

м/с.

Ответ: 20.

Задание 10

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны длины рёбер , , . Най­ди­те синус угла между пря­мы­ми и .
Ре­ше­ние.

От­рез­ки DC и D₁C₁ лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му ис­ко­мый угол между пря­мы­ми A₁C₁ и DC равен углу между пря­мы­ми A₁C₁ и D₁C₁.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­каA₁C₁D₁ по по­лу­ча­ем:

Тогда для угла A₁C₁D₁ имеем:

Ответ:0,6.

Задание 11

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 3.

Задание 12

Для сма­ты­ва­ния ка­бе­ля на за­во­де ис­поль­зу­ют лебeдку, ко­то­рая рав­но­уско­рен­но на­ма­ты­ва­ет ка­бель на ка­туш­ку. Угол, на ко­то­рый по­во­ра­чи­ва­ет­ся ка­туш­ка из­ме­ня­ет­ся со вре­ме­нем по за­ко­ну , где t — время в ми­ну­тах, мин — на­чаль­ная уг­ло­ваяя ско­рость вра­ще­ния ка­туш­ки, а мин² — уг­ло­вое уско­ре­ние, с ко­то­рым на­ма­ты­ва­ет­ся ка­бель. Ра­бо­чий дол­жен про­ве­рить ход его на­мот­ки не позже того мо­мен­та, когда угол на­мот­ки до­стиг­нет . Опре­де­ли­те время после на­ча­ла ра­бо­ты лебeдки, не позже ко­то­ро­го ра­бо­чий дол­жен про­ве­рить еe ра­бо­ту. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­боль­ше­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров и :

.

Учи­ты­вая то, что время — не­от­ри­ца­тель­ная ве­ли­чи­на, по­лу­ча­ем . Угол на­мот­ки до­стиг­нет зна­че­ния 1200° при t = 20 мин.

Ответ: 20.

Задание 13

Вы­со­та ко­ну­саравна 6, об­ра­зу­ю­щая равна 10. Най­ди­те пло­щадь его пол­ной по­верх­но­сти, де­лен­ную на .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти скла­ды­ва­ет­ся из пло­ща­ди ос­но­ва­ния и пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти:

.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка об­ра­зо­ван­но­го вы­со­той, об­ра­зу­ю­щей и ра­ди­у­сом: . Тогда пло­щадь по­верх­но­сти

Ответ: 144.

Задание 14

Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% ни­ке­ля, вто­рой – 35% ни­ке­ля. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 225 кг, со­дер­жа­щий 30% ни­ке­ля. На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го спла­ва мень­ше массы вто­ро­го?

Ре­ше­ние.

Пусть масса пер­во­го спла­ва кг, а масса вто­ро­го – кг. Тогда мас­со­вое со­дер­жа­ние ни­ке­ля в пер­вом и вто­ром спла­вах и , со­от­вет­ствен­но. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 225 кг, со­дер­жа­щий 30% ни­ке­ля. По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом, пер­вый сплав легче вто­ро­го на 135 ки­ло­грам­мов.

Ответ: 135.

Задание 15

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .
Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

.

Ответ: 1035.

Домашняя работа № 18

1.
В пачке 500 ли­стов бу­ма­ги фор­ма­та А4. За не­де­лю в офисе рас­хо­ду­ет­ся 1200 ли­стов. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пачек бу­ма­ги нужно ку­пить в офис на 4 не­де­ли?

2. Цена на элек­три­че­ский чай­ник была по­вы­ше­на на 24 % и со­ста­ви­ла 2480 руб­лей. Сколь­ко руб­лей стоил чай­ник до по­вы­ше­ния цены?

3. На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­наятрех суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­боль­шую тем­пе­ра­ту­ру воз­ду­ха 22 ян­ва­ря. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

4. В пер­вом банке один ав­стра­лий­ский дол­лар можно ку­пить за 28,6 рубля. Во вто­ром банке 120 дол­ла­ров — за 3420 руб­лей. В тре­тьем банке 40 дол­ла­ров стоят 1148 руб­лей. Какую наи­мень­шую сумму (в руб­лях) при­дет­ся за­пла­тить за 30 ав­стра­лий­ских дол­ла­ров?

5.Две сто­ро­ны изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке пря­мо­уголь­ни­ка равны 6 и 8. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Най­ди­те длину суммы век­то­ров и .

6. В Вол­шеб­ной стра­не бы­ва­ет два типа по­го­ды: хо­ро­шая и от­лич­ная, причём по­го­да, уста­но­вив­шись утром, дер­жит­ся не­из­мен­ной весь день. Из­вест­но, что с ве­ро­ят­но­стью 0,8 по­го­да зав­тра будет такой же, как и се­год­ня. Се­год­ня 3 июля, по­го­да в Вол­шеб­ной стра­не хо­ро­шая. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что 6 июля в Вол­шеб­ной стра­не будет от­лич­ная по­го­да.

7.Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

8. Боль­шее ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равно 34. Бо­ко­ваяясто­ро­на равна 14. Синус остро­го угла равен . Най­ди­те мень­шее ос­но­ва­ние.

9. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−16; 4). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−14; 2].

10. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

11.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

12. Для сма­ты­ва­ния ка­бе­ля на за­во­де ис­поль­зу­ют лебeдку, ко­то­рая рав­но­уско­рен­но на­ма­ты­ва­ет кабель на ка­туш­ку. Угол, на ко­то­рый по­во­ра­чи­ва­ет­ся ка­туш­ка из­ме­ня­ет­ся со вре­ме­нем по за­ко­ну , где — время в ми­ну­тах, мин — на­чаль­ная уг­ло­вая ско­рость вра­ще­ния ка­туш­ки, а мин — уг­ло­вое уско­ре­ние, с ко­то­рым на­ма­ты­ва­ет­ся ка­бель. Ра­бо­чий дол­жен про­ве­рить ход его на­мот­ки не позже того мо­мен­та, когда угол на­мот­ки до­стиг­нет 4050°. Опре­де­ли­те время после на­ча­ла ра­бо­ты лебeдки, не позже ко­то­ро­го ра­бо­чий дол­жен про­ве­рить еe ра­бо­ту. Ответ вы­ра­зи­те в ми­ну­тах.

13.Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 240. Пло­щадь одной его грани равна 24. Най­ди­те ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани.

14. Катер в 10:00 вышел из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный в 30 км от А. Про­быв в пунк­те В 2 часа 30 минут, катер от­пра­вил­ся назад и вер­нул­ся в пункт А в 18:00. Опре­де­ли­те (в км/час) ско­рость те­че­ния реки, если из­вест­но, что соб­ствен­ная ско­рость ка­те­ра равна 11 км/ч.

15. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА (2 часа)