Нахождение площадей плоских фигур

Алгоритм вычисления наибольшего, наименьшего значения функции

Алгоритм вычисления функции на экстремумы и на возрастание (убывание)

1. Найти область определения функции

2. Найти f ′ (x)

3. Найти стационарные (f′(x)=0) и критические точки (f′(x) не существует)

4. Определить знаки производной, выполнить графическую иллюстрацию.

1. Найти f ′ (x)

2. Найти стационарные (f′(x)=0) и критические точки (f′(x) не существует) лежащие внутри отрезка [а;b]

3. Вычислить значение функции на концах отрезка и в отобранных точках (см. п.2)

4. Выбрать наименьшее значение (уmin) (наибольшее значение (уmax))

Первообразная

Первообразная. Функция F(х) называется первообразной для функции f (х) на промежутке X, если для любого х из Х выполняется равенство F'(x)=f(x)

Если F(х)-первообразная для функции f(х) на промежутке X, то у функции f(x) бесконечно много первообразных, и все эти первообразные имеют вид F (x)+С, где С -–произвольная постоянная (основное свойство первообразной

Таблица первообразных.

 

 

 

Задача нахождения площади плоской фигуры тесно связана с задачей нахождения первообразных (интегрированием). А именно: площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции y=f(x) (f(x)>0) прямыми x=a; x=b; y=0, равна разности значений первообразной для функции y=f(x) в точках b и a:

О
x
y
a
b
S
y=f(x)

S=F(b)–F(a)

 

Дадим определение определенного интеграла.

Определение. Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на отрезке [a,b] и пусть F(x) – некоторая ее первообразная. Тогда число F(b)–F(a) называется интегралом от а до b функции f(x) и обозначается

.

Равенство называется формулой Ньютона–Лейбница.

Эта формула связывает задачу нахождения площади плоской фигуры с интегралом.

 

§2. Практическая часть

Примеры

Производная

1.На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.

Ре­ше­ние.
Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (2; 4), B (2; 2), C (−6; 2). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу ACB. По­это­му

 

 

 

Ответ: 0,25.

 

2а ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции и от­ме­че­ны точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­мень­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

 


Ре­ше­ние.
Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. Про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на в точ­ках −1 и 4. Мо­дуль тан­ген­саугла на­кло­на ка­са­тель­ной явно боль­ше в точке 4, по­это­му тан­генс в этой точке наи­мень­ший.

 

3.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

 

Ре­ше­ние.
Про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−1; 5) дли­ной 6 и (7; 11) дли­ной 4. Длина наи­боль­ше­го из них 6.

 

Ответ: 6.

 

4.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0.


Ре­ше­ние.
Про­из­вод­ная изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции f(x) равна нулю в точ­ках экс­тре­му­мов: −4,7; 1,4; 2,6 и 4,2. Про­из­вод­ная равна нулю в 4 точ­ках.

 

Ответ: 4.

 

5.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции на от­рез­ке .

 

 

Ре­ше­ние.
Точки ми­ни­му­масо­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с ми­ну­сана плюс. На от­рез­ке функ­ция имеет одну точку ми­ни­му­ма .

Ответ: 1.

6.Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.
Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

.

Из урав­не­ния най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

 

На от­рез­ке [−2; 0] функ­ция убы­ва­ет, по­это­му она до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке x = −2. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

 

Ответ: 12.

7.Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.
Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

 

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние: .

 

Ответ: 12.

8.Най­ди­те точку ми­ни­му­мафунк­ции .

Ре­ше­ние.
Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

 

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма .

Ответ: 0.

9.Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.
Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

 

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма .

Ответ: −2.

 

10.Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.
Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

 

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке:

 

 

 

На от­рез­ке функ­ция до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке мак­си­му­ма Най­дем его:

 

 

Ответ: 10.

Примеры

Первообразная

Пример 1.Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=4x-x²;y=0;x=0; x=4.

Решение. Строим графики данных линий. (рис. 1).
1) y=4x-x² — парабола (вида y=ax²+bx+c). Запишем данное уравнение в общем виде:y=-x²+4x. Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а=-1<0.

Вершина параболы находится

в точке O′(m; n), где

 

О′(2; 4). Нули функции (точки пересечения графика с осью Ох) найдем из уравнения:

4х-х²=0.

Выносим х за скобки, получаем: х(4-х)=0. Отсюда,х=0 или х=4. Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю — искомые точки: (0; 0) и(4; 0).

2) y=0 — это ось Ох; 3) х=0 — это ось Оy; 4) х=4 — прямая, параллельная оси Оy и отстоящая от нее на 4 единичных отрезка вправо.

Площадь построенной криволинейной трапеции находим по (ф. Н-Л).У нас f (x)=4x-x²,a=0, b=4.

 

Пример 2. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми , и осью Ox

Решение:

 

Ответ:

Пример 3. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямой и осью Ox

Решение:

 

 

 

 

Ответ:

Пример 4. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и осью Ox

Поскольку функция четна, фигура, площадь которой требуется найти, симметрична относительно оси Oy, т.е. состоит из двух равновеликих фигур, следовательно,
 
  Ответ: .

 

 

Домашняя работа № 14

1.№ 27500. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.   2 27494. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 14). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−6; 9].      
3 27496. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 11). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−10; 10].   4 27502. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−4; 8). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функции f(x) на от­рез­ке [−2; 6].    
5.№ 27499. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 3). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.       6.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . В какой точке от­рез­ка при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?    

Домашняя работа № 15

1 119971. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0. 2.№ 27497. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.    
3.№ 27488. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на.     4.№ 27501. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 2). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых каса­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции f(x) па­рал­лель­на пря­мой y = −2x−11 или сов­па­да­ет с ней.    
5.№ 27489. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 6 или сов­па­да­ет с ней.     6.№ 27505. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.  

Домашняя работа № 16

1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

2. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

3. Найдите точку минимума функции .

4. Найдите точку минимума функции .

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

7. Найдите точку максимума функции .

8. Найдите точку максимума функции .

Зачетная работа № 5

1. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

 

2.На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение.

 

 

3.На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

 

 

4.На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой .

 

5.На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой .

 

6.На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

 

7.На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

 

8.На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?

 

9.На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек минимума функции , принадлежащих отрезку .

 

10.На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек экстремума функции , принадлежащих отрезку .

11.На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

 

12.На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

 

13.На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

 

14.На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

15.На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

16.На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите точку экстремума функции , принадлежащую отрезку .

17.На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите точку экстремума функции , принадлежащую отрезку .

 

 

18.На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

 

19.На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

 

Зачетная работа № 6

1. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

2. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

3. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

 

4. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

 

5. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

6. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

 

Образец контрольной работы

1.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 7). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x).

 

Ре­ше­ние.

За­дан­ная функ­ция имеет мак­си­му­мы в точ­ках −3, 0, 3, 6 и ми­ни­му­мы в точ­ках −1, 2, 5. По­это­му сумма точек экс­тре­му­маравна −3 + 3 + 0 + 6 −–1 + 2 + 5 = 12.

 

Ответ: 12.

2.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 10). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−3; 8].

 

Ре­ше­ние.

Точки ми­ни­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с ми­ну­са на плюс. На от­рез­ке [−3; 8] функ­ция имеет одну точку ми­ни­му­ма x = 4.

 

Ответ: 1.

3.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−8; 3). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Ре­ше­ние.

Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния дан­ной функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых ее про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−8; −4,5), (−2,5; −0,5) и (1,8; 3). Дан­ные ин­тер­ва­лы со­дер­жат целые точки −7, −6, −5, −2, −1, 2. Их сумма равна −19.

 

Ответ: −19.

4.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 5). Най­ди­те точку экс­тре­му­мафунк­ции f(x) на от­рез­ке [−5; 4].


Ре­ше­ние.

Если про­из­вод­ная в не­ко­то­рой точке равна нулю, а в ее окрест­но­сти ме­ня­ет знак, то это точка экс­тре­му­ма На от­рез­ке [–5; 4] гра­фик про­из­вод­ной пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс, про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с ми­ну­сана плюс. Сле­до­ва­тель­но, точка −2 яв­ля­ет­ся точ­кой экс­тре­му­ма

 

Ответ: −2.

5.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на.


Ре­ше­ние.

Про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на на тех ин­тер­ва­лах, на ко­то­рых функ­ция убы­ва­ет, т. е. на ин­тер­ва­лах (−3,8; 1,2) и (2,8; 4,4). В них со­дер­жат­ся целые точки −3, −2, −1, 0, 1, 3, 4. Их 7 штук.

 

Ответ: 7.

6.На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−16; 4). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−14; 2].


Ре­ше­ние.

Точки экс­тре­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной — изоб­ра­жен­ным на гра­фи­ке нулям про­из­вод­ной. Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точ­ках −13, −11, −9, −7. На от­рез­ке [−14; 2] функ­ция имеет 4 точки экс­тре­му­ма

 

Ответ: 4.

7.На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке .

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−4; 6), B (−4; 4), C (4; 4). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB:

 

.

 

Ответ: −0,25.

8.Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что . Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции — от­кры­тый луч . Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

 

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

 

Най­ден­ные точки лежит на луче . Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

 

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: 1.

9.Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 

 

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

 

.

Ответ: −109.

Глава IX. Элементы комбинаторики