Объем пирамиды
h – высота
S – площадь основания
скость
Площадь боковой поверхности пирамиды
Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. Специальную формулу для выражения этой площади имеет смысл дать в случае правильной пирамиды. Так, пусть дана правильная пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник со стороной, равной а. Пусть h -–высота боковой грани, называется также апофемой пирамиды. Площадь одной боковой грани равна 1/2ah, а вся боковая поверхность пирамиды имеет площадь, равную n/2ha.Так как na -–периметр основания пирамиды, то можно написать найденную формулу в виде:
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению её апофемы на половину периметра основания.
Что касается площади полной поверхности, то просто к боковой прибавляем площадь основания.
Sпол = Sбок + Sосн
§2. Практическая часть
Многогранники.
Примеры
1. В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите расстояние между точками и
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора:
— большая диагональ правильного шестиугольника ее длина равна его удвоенной стороне. Поэтому . Поскольку имеем:
Ответ: 5.
2. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , . Найдите боковое ребро .
Решение.
В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора
Ответ: 17.
3. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого =4, =3, =5. Дайте ответ в градусах.
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора
Рассмотрим прямоугольный треугольник Так как = = то треугольник является равнобедренным, значит, углы при его основанаяравны по .
Ответ: 45.
4. В правильной треугольной пирамиде – середина ребра , – вершина. Известно, что =5, а =6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение.
Отрезок является медианой равнобедренного треугольника , а значит, и его высотой. Тогда
Ответ: 45.
5. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .
Решение.
Отрезок высотой треугольной пирамиды , ее объем выражается формулой
Таким образом,
Ответ: 2.
6. В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра .
Решение.
По теореме Пифагора
Тогда длина ребра равна
Ответ: 5.
7. Найдите расстояние между вершинами А и D прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA = 3.
Решение.
Рассмотрим прямоугольник в котором является диагональю, = По теореме Пифагора
Значит, AD = 5.
Ответ: 5.
8. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.
Решение.
Отрезки D1E1, DE и AB лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми FA и E1D1 равен углу между прямыми FA и AB.
Поскольку угол FAB между сторонами правильного шестиугольникаравен 120°, смежный с ним угол между прямыми FA и AB равен 60°.
Ответ:60.
9. В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , Найдите длину диагонали
Решение.
Найдем диагональ прямоугольника По теореме Пифагора
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора
.
Ответ: 3.
10. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите тангенс угла
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник катет которого является большей диагональю основания. Длина большей диагонали правильного шестиугольникаравна его удвоенной стороне: . Поскольку имеем:
Ответ: 2.
Домашняя работа № 6
1. В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра .
2. В правильной треугольной пирамиде точка – середина ребра , – вершина. Известно, что =3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка .
3. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: , , . Найдите площадь сечения, проходящего через вершины , и .
4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.
5. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , . Найдите боковое ребро .
Зачетная работа № 2
- В правильной треугольной пирамиде SABC точка K – середина ребра BC, S – вершина. Известно, что SK = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра AC.
- В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками и .
- В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 2; объем пирамиды равен 4. Найдите длину отрезка .
- В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра .
5. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого , , . Дайте ответ в градусах.
- В кубе найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.
ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 40 раз?
Решение.
Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому, если все ребра увеличены в 40 раз, площадь поверхности увеличится в 1600 раз.
Ответ: 1600.
2. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.
Решение.
Пусть ребро куба равно , тогда площадь поверхности куба , а диагональ куба . Тогда
.
Ответ: 3.
3. В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра .
Решение.
По теореме Пифагора
Тогда длина ребра равна
Ответ: 4.
4. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 2; объем пирамиды равен 5. Найдите длину отрезка .
Решение.
Отрезок высотой треугольной пирамиды , ее объем выражается формулой
Таким образом,
Ответ: 7,5.
5. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.
Решение.
Площадь поверхности куба выражается через его ребро как , а объем — как . Отсюда видно, что площадь поверхности куба выражается через его объем как . Отсюда находим, что
.
Ответ: 24.
6. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .
Решение.
Отрезок высотой треугольной пирамиды , ее объем выражается формулой
Таким образом,
Ответ: 2.
7. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, =12, =18. Найдите боковое ребро
Решение.
В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора
Ответ: 15.
8. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.
Решение.
Третья сторона треугольникав основанаяравна 10 и его площадь Площадь боковой поверхности призмы с периметром основания равна
.
Полная площадь поверхности:
Ответ: 288.
Глава IV. Тела вращения
аудиторные часы -–8 часов
самостоятельная работа – 4 часа
§1. Краткие теоретические сведения
Цилиндр
Цилиндр – тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.
Цилиндр получается при вращении прямоугольника вокруг стороны.
· прямая OO - ось цилиндра
· отрезок OO -–высота,
· отрезок АА = ВВ - образующая
· круг (О,ОВ) = кругу (O , O В ) – основание цилиндра
· осевое сечение (проходит через ось) есть прямоугольник
· сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник
· сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси, представляет собой круг
· призмой вписанной в цилиндр, называется такая призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами – образующие.
· Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость проходящая
· через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.
Призма описана около цилиндра, если у нее плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту
V=SH