Полярная система координат

Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если заданы:

1) некоторая точка 0, называемая полюсом;

2) некоторый луч, исходящий из точки 0 и называемый полярной осью.

Полярными координатами точки M называются два числа: полярный радиус и полярный угол - угол между полярной осью и вектором .

Пусть на плоскости введены декартова и полярная системы координат, причем начало декартовой системы совпадает с полюсом, а полярная ось - с положительной полуосью абсцисс. Тогда прямоугольные координаты x, y точки М и ее полярные координаты ρ, φ связаны следующими формулами:

,

,

Задание 4. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1. Построить линию по точкам, придавая φ значения от до через промежуток .

2. Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

3. По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить тип линии.

Решение.

1) Совместим декартову и полярную системы координат и рассмотрим окружность произвольного, достаточно большого радиуса с центром в полюсе. Построим радиусы, образующие углы с полярной осью, где принимает значения от до с шагом . Вычислим косинусы этих углов и по этим значениям найдем . Результаты вычислений занесем в таблицу:

 

       
      0,92   0,7   0,38     -0,38   -0,7   -0,92   -1   -0,92   -0,7   -0,38     0,38   0,7   0,92  
    0,16   0,17   0,19   0,24   0,33   0,53   1,11   4,16   ∞   4,16   1,11   0,53   0,33   0,24   0,19   0,17   0,16

 

 

Построим точки () и по полученным точкам построим искомую линию:

 

2) Найдем уравнение данной линии в декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами:

.

Отсюда , .

Тогда имеем:

или после упрощения

.

3) Чтобы определить тип линии, определяемой полученным уравнением,

преобразуем его к каноническому виду:

или

.

Окончательно получим:

,

где ,. Таким образом, данное уравнение определяет параболу.