Формула повної ймовірності.

Приклад 6. Нехай в одному із трьох ящиків знаходиться 3 білих і 2 чорних кулі, у другому - 2 білі й 3 чорних, у третьому - тільки білі кулі. З навмання обраного ящика витягають одну кулю. Знайти ймовірність того, що він білого кольору.

Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що обрана куля білого кольору. Ймовірність цієї події залежить від того, з якого ящика обрана куля. Розглянемо події :

H- куля взята з першого ящика,

H - куля взята із другого ящика,

H- куля взята із третього ящика.

Події H, H, H- несумісні, тоді подія А можна представити у вигляді суми добутків

А= HА + HА + HА

Застосовуючи формули додавання й множення одержимо,

Р(А) = Р(HА + HА + HА ) = Р(HА) + Р(HА) + (HА) =

Р(H)Р(А/ H) + Р(H)Р(А/ H) + Р(H)Р(А/ H) =

Це і є формула повної ймовірності. Запишемо її в загальному виді. Нехай подія А може відбутися тільки разом з однією з подій H, H, … , H, які утворюють повну групу подій (гіпотез).

Ймовірність Р(А) визначається за формулою повної ймовірності

Р(А) =Р( H)P(A/ H), де Р( H) = 1.

Приклад 7. На двох автоматичних верстатах виготовляються однакові валики. Імовірність виготовлення валика вищого сорту на першому верстаті дорівнює 0,95 , а на другому - 0,80. Виготовлені на обох верстатах не розсортовані валики перебувають на складі, серед них валиків, виготовлених на першому верстаті, у три рази більше, ніж на другому. Визначити ймовірність того, що навмання взятий валик виявиться вищого сорту.

Позначимо А - подію, яка полягає у тому, що взятий навмання валик виявиться вищого

сорту;

B- подія, яка полягає у тому, що взятий навмання валик

зроблений на першому верстаті;

B- подія, яка полягає у тому, що валик зроблений на другому

верстаті.

Застосувавши формулу повної ймовірності одержимо:

Р(А) = Р(В)Р(А/ В) + Р(В)Р(А/ В).

Оскільки валиків, зроблених на першому верстаті , в 3 рази більше, ніж на другому, то Р(В) = , Р(В) = .

У задачі дані умовні ймовірності:

Р(А/ В) = 0,92 , Р(А/ В) = 0,80.

Шукана ймовірність

Р(А) = = 0,89.

Формули Байеса.

В умовах Приклада 6, обрана з ящика куля, виявилася білого кольору. Знайти ймовірність того, що куля була взята із третього ящика.

Це задача відрізняється тим, що відома подія, яка наступила в результаті експерименту: Ця подія А – витягнута куля білого кольору. Потрібно знайти ймовірність гіпотези за умови, що наступила подія А, тобто Р(Н/А).

Розглянемо ймовірність Р(А Н) , за формулою множення

Р(А Н) = Р(А)Р(Н/А) = Р(Н)Р(А/ Н).

З останньої рівності виразимо шукану ймовірність

Р(Н/А) = ,де Р(А) - повна ймовірність події А.