Часть 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Общая постановка задачи

Определение 1. Линейное программирование — наука о ме­тодах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений.

Определение 2. Математическое выражение целевой функ­ции и ее ограничений называется математической моделью экономической задачи.

В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЛП) записывается как

при ограничениях:

где x_j — неизвестные; a_ij, b_i, c_j — заданные постоянные вели­чины.

Все или некоторые уравнения системы ограничений могут быть записаны в виде неравенств.

Математическая модель в более краткой записи имеет вид

при ограничениях:

Определение 3. Допустимым решением (планом) зада­чи линейного программирования называется вектор = (x₁, x₂,..., x_п), удовлетворяющий системе ограничений.

Множество допустимых решений образует область допус­тимых решений (ОДР).

Определение 4. Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называ­ется оптимальным решением задачи линейного программиро­вания и обозначается _опт.

Базисное допустимое решение (х₁, х₂,..., x_r, 0, …, 0) яв­ляется опорным решением, где r — ранг системы ограничений.

Виды математических моделей

Математическая модель задачи ЛП может быть каноничес­кой и неканонической.

Определение 5. Если все ограничения системы заданы урав­нениями и переменные x_j неотрицательные, то такая модель задачи называется канонической.

Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи ЛП является неканонической. Чтобы перейти от неканонической модели к канонической, необходимо в каждое неравенство ввести балансовую переменную x_n+i. Если знак неравенства ≤, то балансовая переменная вводится со знаком плюс, если знак неравенства ≥, то — минус. В целевую функ­цию балансовые переменные не вводятся.

Чтобы составить математическую модель задачи ЛП, не­обходимо:

— ввести обозначения переменных;

— исходя из цели экономических исследований, составить целевую функцию;

— учитывая ограничения в использовании экономических показателей задачи и их количественные закономернос­ти, записать систему ограничений.

Для рассмотрения решения задач линейного программиро­вания дадим некоторые понятия аналитической геометрии в n-мерном пространстве.

Глава 19. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ