Свойства математического ожидания
Математическое ожидание обладает рядом свойств, которые указаны ниже.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной:
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
Свойство 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
Свойство 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Пример 3. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в некотором автосалоне составляют в среднем 100 тыс. р., а число продаж Х автомашин в течение дня подчиняется следующему закону распределения:
Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене на машину 150 тыс. р.
Решение. Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле
Искомая характеристика М(П) находится с использованием указанных выше свойств математического ожидания (в тыс. р.):
Если в п независимых испытаниях вероятность появления в каждом из них события А постоянна, то ответ на вопрос о среднем числе появления события А дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:
Пример 4. Найти математическое ожидание числа выигрышных лотерейных билетов, если вероятность выигрыша по одному билету равна 0,015, причем куплено 200 билетов.
Решение. Поскольку приобретение каждого билета является независимым испытанием относительно появления события А — выпадения выигрыша, то здесь применимы теорема 18.1 и формула (18.7). В нашем случае n = 200, р = 0,015, откуда мы получаем
