Дискретные случайные величины

Виды случайных величин

Случайные величины и законы их распределения

В главе 17 рассматривались события, состоящие в появ­лении того или иного числа. Например, среди трех изъятых деталей может оказаться до трех стандартных.

Определение 1. Величину называют случайной, если в ре­зультате испытания она примет лишь одно возможное значе­ние, заранее не известное и зависящее от случайных причин.

Каждой случайной величине соответствует множество чи­сел — это множество значений, которые она может принимать. Например, число мальчиков среди 100 новорожденных — это случайная величина, которая может принимать значения от 0 до 100. Далее будем обозначать случайные величины пропис­ными буквами, а их возможные значения — строчными бук­вами; например, случайная величина Х имеет два возможных значения x₁ и х₂. Другой пример: случайная величина Y при­нимает возможные значения, принадлежащие интервалу (а, b). Различают два вида случайных величин.

Определение 2. Случайная величина, принимающая отдельные возможные значения с определенными вероятнос­тями, называется дискретной случайной величиной.

Определение 3. Непрерывной называется случайная величи­на, которая может принимать все значения из некоторого про­межутка.

Как следует из определения 2, для задания дискретной слу­чайной величины нужно задать не только перечень ее возмож­ных значений, но и их вероятности. Иными словами, каждо­му возможному значению случайной величины соответствует определенное значение вероятности появления этой величины.

Определение 4. Соответствие между отдельными возможны­ми значениями и их вероятностями называется законом рас­пределения дискретной случайной величины.

Как и в случае функциональной зависимости, этот закон можно задать таблицей, аналитически (формулой) и графи­чески. В случае табличного задания закона распределения дис­кретной случайной величины соответствующая таблица состо­ит из двух строк — первая указывает возможные значения, а вторая — их вероятности:

Поскольку в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение, то события Х = х₁, Х = х₂, …, Х = x_п образуют полную группу, т.е. сумма их вероятностей равна единице:

Если множество возможных значений Х дискретной слу­чайной величины бесконечно, то соответствующий ряд веро­ятностей сходится и его сумма равна единице:

Пример 1. В денежной лотерее на 100 билетов разыгрывается один выигрыш в 20 р., два выигрыша по 10 р. и 10 выигры­шей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х возможного выигрыша на один билет.

Решение. Возможные значения X: x₁ = 20, x₂ = 10, x₃ = 1, x₄ = 0. Соответственно их вероятности равны: p₁ = 0,01, р₂ = 0,02, р₃ = 0,1, р₄ = 1 - (p₁ +p₂ + р₃) = 1 - 0,13 = 0,87. Таким образом, искомый закон распределения имеет вид

Пример 2. Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. На­удачу отбираются 3 изделия. Составить таблицу закона рас­пределения числа стандартных изделий среди отобранных.

Решение. Случайная величина Х — число стандартных деталей среди отобранных — может принимать 4 возможных значения: 0, 1, 2 и 3. Вероятность нахождения k стандартных изделий среди трех отобранных определяется формулой

Варьируя значения k от 0 до 3, получаем искомое распределе­ние:

Пример 3. Вероятностный прогноз для величины Х — про­центного изменения стоимости акций по отношению к их те­кущему курсу в течение шести месяцев — дан в виде закона распределения:

Найти вероятность того, что покупка акций будет более вы­годна, чем помещение денег на банковский депозит под 36% годовых.

Решение. Прирост суммы на банковском депозите при условии 3% в месяц составит через 6 месяцев [(l,03)⁶ - l]100% = 19,4%. Вероятность того, что покупка акций выгоднее бан­ковского депозита, определяется суммой вероятностей, соот­ветствующих более высокому росту курса акций:

Закон распределения дискретной случайной величины мож­но изобразить графически, соединив в прямоугольной систе­ме координат ХОР точки (х_i, р_i) отрезками прямых. Так, на рис. 18.1 показан закон распределения из примера 3. Такая фи­гура называется многоугольником распределения.