Метод обратной матрицы и теорема Крамера

Методы решения систем линейных уравнений

В этом разделе мы рассмотрим частный случай системы (15.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т.е. т = n. Система уравнений имеет вид

Составим квадратную матрицу А порядка n этой системы:

1. В матричной форме система уравнений (15.5) имеет вид

где матрицы Х и В имеют размер n х 1. Пусть матрица систе­мы А является невырожденной, т.е. существует обратная мат­рица А^-1. Умножив обе части этого уравнения слева на А^-1, получаем решение системы (15.5) в матричной форме:

Вычисление обратной матрицы по заданной матрице А производится по довольно сложным формулам. В случае когда по­рядок n матриц А и А^-1 достаточно велик, вычисление обрат­ной матрицы может быть очень громоздким.

2. Другой метод решения системы уравнений (15.5) основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы систе­мы А:

который называется также определителем системы. Заменим в этом определителе j-й столбец на столбец свободных членов В, т.е. получим этой заменой другой определитель, который обозначим Δ_j:

ТЕОРЕМА 2 (правило Крамера). Пусть Δ — определитель матрицы системы А, а Δ_j — определитель, полученный из определителя Δ заменой j-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда если Δ ≠ 0, то система линейных уравнений (15.5) имеет единственное решение, определяемое по форму­лам

Формулы вычисления неизвестных (15.6) — решения сис­темы (15.5) — носят название формул Крамера.

Пример 1. Найти решение системы уравнений

Решение. Составим и вычислим определители системы Δ и Δ_j (j = x, y, z):

Определитель системы отличен от нуля, стало быть, она имеет единственное решение, которое вычисляется по форму­лам (15.6):