Уравнения, допускающие понижение порядка

 

Существуют три вида уравнения (10.2), которые при помо­щи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравне­ниям первого порядка.

1. Уравнение вида

 

 

Введем новую функцию z(x) путем замены z(x) = у'. Тогда исходное уравнение второго порядка преобразуется в неполное уравнение первого порядка: z' = f(x), решением которого яв­ляется функция z(х) = f(x) dx + С1. Поскольку z(x) = у', то повторным интегрированием находим общее решение уравне­ния (10.4):

 

 

где С1 и С2 — произвольные постоянные.

2. Уравнение вида

 

 

т.е. уравнение не содержит в явном виде у. Как и в преды­дущем случае, положим z(x) = у'. Тогда получаем уравнение первого порядка общего вида z' = f(x, z). Найдя общее реше­ние этого уравнения z = φ(x, C1), повторным интегрированием получим искомое общее решение уравнения (10.5):

 

 

где С1 и С2 — произвольные постоянные.

3. Уравнение вида

 

 

т.е. уравнение не содержит независимой переменной x. Здесь мы вводим новую функцию, зависящую от у, полагая z(y) = у'. Тогда, поскольку по правилу дифференцирования сложной функции

 

 

то уравнение (10.6) преобразуется в дифференциальное урав­нение первого порядка относительно функции z(y):

 

 

Пусть общее решение этого уравнения z = φ(у, С1). Тогда об­ратной заменой получаем неполное уравнение первого порядка относительно функции у(х)

 

 

из которого методом разделения переменных получаем функ­циональное соотношение для определения общего решения уравнения (10.6):

 

 

где С1 и C2 произвольные постоянные.

Рассмотрим два примера решения дифференциальных уравнений второго порядка.

 

Решение. Это уравнение вида (10.5), поскольку оно не со­держит в явном виде у. Заменой z(x) = у' приведем его к уравнению первого порядка = -xz2, откуда имеем z = , или у' = . Интегрируя это уравнение, получаем общее решение исходного уравнения:

 

 

где С1 и С2 произвольные постоянные. В зависимости от вы­бора знака С1 интеграл в правой части этого равенства (обо­значим его через I) может иметь разные выражения:

 

 

Решение. Это уравнение вида (10.6), т.е. оно не содержит явно независимой переменной х. Заменой z(y) = у' сведем его к уравнению первого порядка

 

 

Первое решение этого уравнения z = 0, или у = С, где С — по­стоянная величина. Сокращая после этого обе части уравнения на z, получаем z = 0. Решение этого уравнения методом разделения переменных у и z дает z = С1ey. Наконец, обратная замена приводит к уравнению первого порядка

 

 

Разделение переменных x и у приводит к общему решению ис­ходного уравнения: e-ydy = C1dx, откуда e-y = С1х + С2, или окончательно

 

 

где С1 и С2 — произвольные постоянные. Нетрудно видеть, что это решение включает в себя и решение у = С, указанное выше (при С1 = 0, С2 ≠ 0).

Далее мы рассмотрим наиболее употребимый в математи­ческих приложениях вид дифференциальных уравнений второ­го порядка.