Неполные уравнения

Уравнения с разделяющимися переменными

Определение 5. Дифференциальное уравнение вида

где f₁(x) и f₂(y) — непрерывные функции, называется уравне­нием с разделяющимися переменными.

Подчеркнем, что правая часть уравнения представляет со­бой произведение, в котором один сомножитель зависит только от х, а другой — только от у. Метод решения такого вида урав­нений носит название разделения переменных. Запишем производную у' в ее эквивалентной форме как отношение дифферен­циала функции к дифференциалу независимой переменной , умножим обе части уравнения (9.3) на dx и поделим обе его части на f₂(y), полагая, что f₂(у) ≠ 0; получаем

В этом уравнении переменная у входит в левую часть, а пе­ременная х — только в правую, т.е. переменные разделены. Пусть у = φ(x) является решением уравнения (9.3), тогда при подстановке этого решения в уравнение (9.4) получаем тож­дество: два дифференциала равны друг другу, только в правой части дифференциал выражен через независимую переменную x, а в левой части — через функцию у. Поскольку дифференци­алы равны, то их неопределенные интегралы различаются на постоянную величину, т.е., интегрируя слева по переменной у, а справа по переменной х, получаем

где С — произвольная постоянная.

Рассмотрим примеры решения уравнений методом разде­ления переменных.

Пример 1. ху' — у = 0, найти частное решение при начальных условиях у₀ = 2 при x₀ = -4.

Решение. Разделим переменные, для чего перенесем у в правую часть, поделим обе части полученного уравнения на ху и умножим их на dx; получим

Интегрируя обе части этого уравнения (правую по x, а левую по у), имеем

где С — произвольная постоянная. При потенцировании полу­чаем

что эквивалентно уравнению у = ±Сх, или у = С₁х. Получен­ная функция представляет семейство интегральных кривых. Для выделения частного решения при указанных начальных условиях подставим в эту формулу х = -4 и у = 2, откуда получим значение для С: С = -1/2. Окончательно частное решение имеет вид

Пример 2. у' = х, найти частное решение, проходящее через точку (0,1).

Решение. Разделяя переменные, получаем уравнение в дифференциалах

Интегрируя, имеем

где С — произвольная постоянная величина. После интегриро­вания (интеграл в правой части берется при помощи замены переменной) имеем уравнение семейства интегральных кривых

Выделение частного решения, проходящего через точку (0, 1), приводит к определению произвольной постоянной: С =, т.е. эта кривая описывается уравнением (с учетом выбора знака)

Определение 6. Дифференциальное уравнение первого поряд­ка (9.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Различают два случая такой зависимости.

1. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде

нетрудно убедиться, что его решением является функция

2. Пусть функция f зависит только от у, т.е. уравнение (9.1) имеет вид

Дифференциальное уравнение такого вида называется авто­номным. Такие уравнения часто употребимы в практике мате­матического моделирования и исследования природных и физи­ческих процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описываю­щие законы природы. В этом случае особый интерес представ­ляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки,— нули функции f(у), где производная у' = 0.

Решение уравнения (9.6) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения не­известной функции у = φ(x) (или х = ψ(у)):

В общей теории дифференциальных уравнений развита те­ория качественного анализа, основанная на исследовании ха­рактера стационарных точек.