Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат

Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

Приложения определенного интеграла

Пример 6.

Пример 5.

Ответ:

Ответ:

а) Область D ограничена кривыми y = f (x) и y = g (x), прямыми x=a и x=b, причем f(x) ³ g(x) для xÎ [a;b].

.

б) Область D ограничена кривыми x = f (y) и x = g (y), прямыми y=c и y=d, причем f (y) ³ g(y) для yÎ [c;d].

.

а) Полярная система координат задается полярной осью Ox, полюсом – точка O и масштабной единицей (рис.14)

Рис.14

Точка M в этой системе задается двумя координатами:

а) j - угол наклона радиуса-вектора к оси Ox;

б) r - длина .

Формулы перехода от полярной системы координат к прямоугольной системе, связанной с полярной точкой начала координат – т. O, осью абсцисс с полярной осью, а осью ординат, перпендикулярной полярной оси,

M(j;r) = M(x; y): и

Уравнение кривой в полярной системе координат – соотношение между r и j : r = r (j).

Б) Площадь криволинейного сектора в полярной системе, ограниченного лучами j =a и j = b, кривой r = r(j) (рис.15), вычисляется по формуле:

.

Рис.15