Интеграл с переменным верхним и постоянным нижним пределами и его свойства

Вычисление определенного интеграла

Определение 4. Пусть функция y = f (x) непрерывна на [a;b]. Тогда она непрерывна на [a;x] для любого xÎ [a;b]. Следовательно, на [a;b] определена функция , которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Свойства этой функции сформулируем в виде теоремы.

Теорема 3. Пусть функция f (x) непрерывна на [a;b]. Тогда функция обладает свойствами:

1) непрерывна на [a;b];

2) имеет производную F' (x) в каждой точке xÎ [a;b], удовлетворяющую равенству .

Доказательство: Вычислим приращение функции F (x), причем D x возьмем таким, чтобы точка x + D x Î [a;b].

Тогда

Применим к полученному интегралу теорему о среднем значении определенного интеграла. То есть на [x; x + Dx] существует такое число c, в котором выполняется равенство:

Значит, DF = f (c)× Dx, где c Î [x; x + Dx].

Если Dx ® 0, то c ® x (так как x < c < x+Dx).

Поэтому, в силу непрерывности f (x), получим f (c) ® f (x) при Dx®0.

Таким образом, DF®0 при Dx®0, что доказывает непрерывность F (x).

Кроме того, вычисляя предел отношения DF к Dx при Dx ® 0, получим:

То есть существует конечный предел отношения DF к Dx при Dx®0. Что означает существование производной F' (x) = f (x).

Из этой теоремы следует, что функция является первообразной для функции f (x).