Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в любой точке промежутка (a;b). Тогда она имеет конечную производную в любой точке этого промежутка. Значит, существует касательная к графику функции y = f(x) в любой его точке (x;f(x)), a < x < b.

Определение 8. График функции y = f(x), дифференцируемой в каждой точке промежутка (a;b) называется выпуклым (вогнутым) на этом промежутке, если для любого x Î (a;b) график расположен не выше (не ниже) касательной к графику в точке (x;f(x)).

Теорема 5 (достаточное условие выпуклости или вогнутости кривой).

Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на промежутке (a;b) и f”(x) для x Î (a;b) сохраняет свой знак, то кривая y = f(x) выпуклая, если f”(x) £ 0 при x Î (a;b), и кривая y = f(x) вогнутая, если f”(x) ³ 0 при x Î (a;b).

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай, когда f”(x) ³ 0 для x Î (a;b). Обозначим x₀ любую точку промежутка (a;b). Построим касательную к кривой y = f(x) в точке (x₀; f(x₀)): y_касат = f(x₀) + f(x₀)(x- x₀). Покажем, что график функции y = f(x) лежит не ниже этой касательной, то есть выполняется неравенство (рис.11):

f(x) – y_касат. (x) ³ 0 для любого x Î (a;b).

Рис. 11

f(x) – y_касат(x) = f(x) – (f(x₀) + f’(x₀)(x-x₀)) =

=f(x) – f(x₀) – f’(x₀)(x-x₀) = (f(x) - f(x₀)) - f’(x₀)(x-x₀), где x Î (a;b), (1)

На [x₀;x] функция y = f(x) удовлетворяет условию теоремы Лагранжа. То есть на [x₀;x] найдется хотя бы одна точка c₁, для которой выполняется равенство:

F(x) – f(x₀) = f’(c₁)(x-x₀).

Поставим в равенство (1) полученное соотношение:

f(x) – y_касат(x) = f’(c₁)(x-x₀) – f’(x₀)(x-x₀) = (x-x₀)×(f’(c₁) – f’(x₀)). (2)

На [x₀;c₁] функция f’(x) удовлетворяет условию теоремы Лагранжа. То есть на (x₀;c₁) найдется хотя бы одна точка с₂, для которой выполняется равенство:

f’(c₁) – f’(x₀) = f”(c₂)(c₁-x₀).

Подставим в равенство (2) полученное соотношение:

f(x) – y_касат(x) = (x-x₀)×f”(c₂)(c₁-x₀). (3)

Если x > x₀, то c₁ > x₀ и c₂ > x₀, то есть x-x₀ < 0 и с₁-x₀ < 0.

По предположению f”(x) ³ 0. Тогда f(x) – y_касат(x) ³ 0.

Если x < x₀, то c₁ < x₀ и c₂ < x₀, то есть x-x₀ > 0 и c₁-x₀ > 0.

Тогда f(x) – y_касат(x) ³ 0.

Следовательно, при любом x Î (a;b) выполняется неравенство:

f(x) – y_касат(x) ³ 0.

Аналогично можно доказать, что если f”(x) £ 0 при любом x Î (a;b), то кривая y = f(x) на (a;b) будет выпуклой.

Теорема доказана.

Определение 9. Пусть в точке (x₀;f(x₀)) существует касательная. Тогда точка (x₀;f(x₀)), отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой или наоборот называется точкой перегиба графика функции y = f(x).

Теорема 6 (достаточное условие точки перегиба).

Если функция y = f(x) дифференцируема в окрестности точки x_0, вторая производная функции f”(x₀) = 0 или не существует и f”(x) меняет свой знак при переходе x через точку x₀, то точка (x₀;f(x₀)) – точка перегиба кривой y = f(x).

Доказательство. Для определенности рассмотрим слeчай, когда f”(x) при переходе через точку x₀ изменяет знак с «+» на «-».

Тогда в левой полуокрестности точки x₀ f”(x) >0, то есть кривая при x < x₀ вогнутая, а в правой полуокрестности точки x₀ f”(x) <0, то есть кривая при x > x₀ выпуклая.

Следовательно, точка (x₀;f(x₀)) по определению является точкой перегиба графика функции y = f(x).

Аналогично рассматривается другой случай, когда f”(x) при переходе через точку x₀ изменяет знак с «-» на «+».

Теорема доказана.