Доказательство.
Экстремумы функции
Монотонность функции
Определение 4. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a;b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому промежутку, из условия x2 > x1 следует неравенство:
f(x2) > f(x1) (f(x2) < f(x1)).
Определение 5. Функция y = f(x) называется монотонной на промежутке (a;b), если она на этом промежутке является только возрастающей или только убывающей.
Теорема 2(достаточные условия монотонности).
Если функция y = f(x) дифференцируема на промежутке (a;b) и f’(x) > 0 (f’(x) < 0) для любых x Î (a;b), то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.
Доказательство. Возьмем любые два значения x1 и x2 из промежутка (a;b). Для определенности предположим, что x2 > x1.
На отрезке [x1;x2] функция y = f(x) непрерывна и дифференцируема (из условия теоремы). Следовательно, она удовлетворяет теореме Лагранжа на [x1;x2]. То есть существует хотя бы одна точка c Î (x1;x2), в которой выполняется равенство:
f(x2) - f(x1) = f' (c) × (x2 - x1).
Если f’(x)>0 для любых xÎ(a;b), то f ' (c)>0. Поэтому f(x2) - f(x1)>0, то есть из условия x2 > x1 следует неравенство f(x2) > f(x1). А так как x1 и x2 любые значения из промежутка (a;b), то функция y=f(x) возрастает на этом промежутке.
Если f’(x) < 0 для любых xÎ (a;b), то f’(c) < 0. Поэтому f(x2) - f(x1) < 0, то есть из условия x2 > x1 следует неравенство f(x2) < f(x1). А так как x1 и x2 любые значения из промежутка (a;b), то функция y = f(x) убывает на этом промежутке.
Теорема доказана.
Определение 6. Функция y=f(x) x0Î D(f) максимум ymax (минимум ymin), если существует такая, окрестность точки x0, для всех x из которой выполняется неравенство:
f(x0) > f(x) × (f(x0) < f(x)).
Определение 7.Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.
Теорема 3 (необходимое условие экстремума)
Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке x0, то в этой точке производная функции равна нулю или не существует.
1) Для определенности рассмотрим случаи, когда функция y = f(x) в точке x0 имеет максимум и в этой точке существует производная. Тогда из определения максимума для любого x, принадлежащего окрестности точки x0 f(x0) > f(x).
Отсюда следует, что для любого Dx # 0 справедливо неравенство: f(x0+Dx) - f(x0) < 0. Разделим неравенство на Dx. При этом получим:
при Dx > 0: 
при Dx < 0: 
Перейдем к пределам:
Так как f”(x0) существует, то:
f’(x0+0) = f’(x0-0) = f(x0) = 0.
Аналогично рассматривается случай, когда x0 – точка минимума.
2) Если f' (x0) не существует или равна ¥, то точка x0 может быть точкой экстремума функции.
Например, функция y = 1х1 имеет минимум при x = 0, хотя y' (0) не существует (рис.9)
Рис. 9
Теорема доказана.
Теорема 4 (достаточное условие экстремума)
Если функция y = f(x) непрерывна в точке x0, дифференцируема в некоторой ее окрестности за исключением, может быть, самой этой точки, f’(x0) = 0 или не существует и при переходе x через точку x0 f’(x) изменяет знак, то точка x0 является точкой экстремума. Если при этом знак f’(x) меняется.
с «+» на «-», то x0 - точка максимума,
с «-» на «+», то x0 - точка минимума.
Доказательство. Пусть f’(x) при переходе x через точку x0 изменяет знак с «+» на «-», то есть f’(x)>0 при x Î (x0-d; x0)
и f’(x)<0 при x Î (x0;x0 +d), где d>0.
(рис.10).
Рис. 10
1) Пусть x Î (x0-d; x0). На отрезке [x;x0] функция y = f(x) удовлетворяет теореме Лагранжа (по условию теоремы 4). Значит, на (x;x0) найдется хотя бы одна точка c1, в которой выполняется равенство:
f(x) – f(x0) = f’(c1)×(x–x0), где c1Î(x0-d;x0).
Так как f’(c1) > 0 и x-x0 < 0, то f(x) – f(x0) < 0
2) Пусть x Î (x0;x0 +d). На отрезке [x;x0] функция y = f(x) также удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит на (x0;x) найдется хотя бы одна точка с2, в которой выполняется равенство:
f(x) – f(x0) = f’(c2)×(x–x0), где c2 Î (x0;x0+d).
Так как f’(c2) < 0 и x-x0 > 0, то f(x) – f(x0) < 0
Следовательно, для любого x Î (x0-d;x0 +d) выполняется неравенство:
f(x0) > f(x).
Отсюда следует, что точка x0 является точкой максимума функции y = f(x).
Аналогично рассматривается случай, когда f’(x) при переходе x через точку x0 изменяет знак с «+» на «-». При этом точка x0 является точкой минимума функции.
Теорема доказана.