Производные обратных тригонометрических функций

Теорема 10. Функция y=arcsinx дифференцируема при любом xÎ(-1;1) и справедлива формула:

Доказательство: Функция y = arcsinx определена при xÎ[-1;1] и область ее значений . Она монотонно возрастает на всей области ее определения, поэтому имеет обратную функцию x = siny. Уравнение x = siny можно рассматривать как неявное задание функции y = arcsinx. Найдем производную от обеих частей уравнения:

.

Выразим из полученного равенства y':

.

Но при .

Поэтому , так как .

Следовательно, получаем:

.

Теорема 11. Функция y = arcos x дифференцируема при xÎ (-1;1) и справедлива формула:

.

Теорема 12. Функция y = arctgx дифференцируема при xÎ (-¥:+¥) и справедлива формула:

.

Теорема 13. Функция y = arcсtgx дифференцируема при xÎ (-¥:+¥) и справедлива формула:

.

Теоремы 11, 12, и 13 доказываются аналогично доказательству теоремы 10.