Правила дифференцирования

Теорема 3. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то функция U(x) ± V(x) дифференцируема в т.x и ее производная вычисляется по формуле:

(U(x) ± V(x))' = (U(x))' ± (V(x))'.

Доказательство:Рассмотрим функцию y = U(x) ± V(x).

Тогда Dy=DU±DV. Разделим на Dx и перейдем к пределу при Dx®0:

так как по условию теоремы функции U(x) и V(x) дифференцируемы.

Значит, (U(x) ± V(x))' = U' (x) ± V' (x).

Теорема доказана.

Теорема 4. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в т. х, то функция (U(x) × V(x)) дифференцируема в т. х и ее производная вычисляется по формуле:

(U(x) × V(x))' = (U(x))'× V(x) + U(x) × (V(x))'.

Доказательство. Рассмотрим функцию y = U(x)×V(x). Найдем ее приращение Dy = (U+DU)(V+DV) - U×V = U×V + U×DV + V×DU + DU×DV -U×V= = U×DV + V×DU + DU×DV.

Разделим Dy на Dx и перейдем к пределу при Dx®0:

так по условию функции U(x) и V(x) дифференцируемы, а значит , и .

Значит, (U(x)× V(x))' = U’(x) × V(x) + U(x) × V' (x).

Теорема доказана.