Доказательство.

1) необходимость: Дано: y=f(x) дифференцируема в т.х.

Доказать: A=f ' (x).

Так как функция y=f(x) дифференцируема в т. х, то по определению

Dy = A × Dx + a(Dx) × Dx, где a(Dx) ® 0 при Dx ®0.

Разделим это равенство на Dx # 0:

.

Перейдем к пределу при Dx®0:

существует, а значит f ' (x) = A.

Необходимость доказана.

2) достаточность: Дано: f ' (x) - существует

Доказать: f(x) дифференцируема.

Так как существует f ' (x)=, то по свойству предела можно записать:

, где a(Dx)®0 при Dx®0.

Умножим это равенство на Dx:

Dy = f ' (x) × Dx + a(Dx) × Dx Þ функция y=f(x), дифференцируема в точке х.

Достаточность доказана.

Теорема 2 (связь дифференцируемости с непрерывностью функции).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎD(f), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.Так как функция дифференцируема в точке x, то ее приращение в этой точке можно представить в виде:

Dy=A × Dx+a(Dx) × Dx, где A=f ' (x) и a(Dx)®0 при Dx®0.

Найдем предел от Dy при Dx®0:

Þ по определению 2 непрерывности функции в точке функция y = f(x) непрерывна в т. x.

Замечание. Обратное теореме 2 утверждение не всегда верно.