Алгоритмы интегрирования.

В ка­че­ст­ве ос­нов­ных про­грамм­но-ин­ст­ру­мен­таль­ный ком­плекс (ПИК) ос­на­щен дву­мя ба­зо­вы­ми ал­го­рит­ма­ми. Пер­вый ба­зи­ру­ет­ся на уни­вер­саль­ном ме­то­де Рун­ге-Кут­та-Фель­бер­га , пред­на­зна­чен­но­го для ре­ше­ния не­же­ст­ких и сла­бо­же­ст­ких сис­тем диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. По оцен­ке спе­циа­ли­стов дан­ный ме­тод яв­ля­ет­ся од­ним из луч­ших в клас­се по­доб­ных.

Ме­тод хо­ро­шо при­ме­ним для ин­тег­ри­ро­ва­ния сис­тем из N обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний ви­да

dy /dt = F(t, y(1), ... , y(N)), (1)

где y(i) за­да­ны в t , от t до T . Мо­жет ис­поль­зо­вать­ся так же в ка­че­ст­ве од­но­ша­го­во­го ин­те­гра­то­ра для про­дол­же­ния ре­ше­ния на один шаг в на­прав­ле­нии Т.

RKF-45 состоит из 3-х частей:

первая - ин­тег­ри­ру­ет сис­те­му обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний пер­во­го по­ряд­ка, вторая - ин­тег­ри­ру­ет сис­те­му из N обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний пер­во­го по­ряд­ка, где на­чаль­ные зна­че­ния y(i) и на­чаль­ные про­из­вод­ные yp(i) за­да­ны в на­чаль­ной точ­ке t , третья часть про­дол­жа­ет ре­ше­ние на фик­си­ро­ван­ный шаг и фор­ми­ру­ет мас­сив для при­бли­жен­ных ре­ше­ний, имею­щих пя­тый по­ря­док точ­но­сти.

Другой [6] ал­го­ритм ин­тег­ри­ро­ва­ния ба­зи­ру­ет­ся на иде­ях уп­ре­ж­де­ния и пред­на­зна­ча­ет­ся для дос­та­точ­но ши­ро­ко­го клас­са ди­на­ми­че­ских за­дач, ко­то­рые мо­гут быть опи­са­ны сис­те­мой диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний ви­да

(2)

где Sjl и Pij - кон­стан­ты, ко­то­рые счи­та­ют­ся за­дан­ны­ми, Ai(t)

- со­став­ляю­щие ком­по­нен­ты кинетической (ди­на­ми­че­ской) за­да­чи, t -вре­мя, t Î[0,T], Ai(0), i = 1,...,n - за­да­ны.

Ис­ход­ный вре­мен­ной от­ре­зок [0,T] раз­би­ва­ет­ся на ряд вре­мен­ных от­рез­ков, со­став­ляю­щих в со­во­куп­но­сти ис­ход­ный. Ал­го­ритм на­хо­дит при­бли­жен­ное ана­ли­ти­че­ское ре­ше­ние ука­зан­ной сис­те­мы на ка­ж­дом из этих эле­мен­тар­ных вре­мен­ных от­рез­ках при не­ко­то­рых уп­ро­щаю­щих пред­по­ло­же­ни­ях. При ре­ше­нии прак­ти­че­ских за­дач от­ме­чен ряд пре­иму­ществ дан­но­го ал­го­рит­ма.