Основные свойства ротора
Ротор и его основные свойства
Определение ротора векторного поля | ||
Ротором или вихрем векторного поля называется вектор с проекциями
|
1. — это векторная величина, которая является дифференциальной (т.е. точечной) характеристикой векторного поля .
2. — свойство линейности.
3. Ротор произведения скалярной и векторной функции вычисляется по формуле: .
w
v
4. Физический смысл ротора
Некоторое физическое истолкование понятия ротора можно получить, если рассматривать векторное поле линейных скоростей твердого тела (материальной точки M), вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью . |
Из физики известно, что , где - это угловая скорость вращения, - это радиус вектор точки М.
Поэтому
то есть поле линейных скоростей тела, вращающегося вокруг неподвижной оси есть плоское векторное поле.
Вычислим его ротор равен:
то есть ;
Следовательно, ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения. Таким образом, характеризует вращательную способность поля , наличие у этого поля “закрученных” векторных линий или “вихрей”.
В технической литературе ротор векторного поля часто называют вихрем этого поля.
Примеры 2 (вычисление ротора векторного поля)
1. Вычислить ротор радиус-вектора точки .
Решение
Составляем формулу (4) для и делаем вычисления: , ,
векторное поле не обладает вращательной способностью.
2. Вычислить , если .
Решение
Записываем проекции данного векторного поля: , ,
и по формуле (4) получаем, что
Из рассмотренного примера следует, что любое векторное поле сопровождается другим векторным полем его ротора.