Вычисление поверхностного интеграла I рода
Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла по проекции поверхности (s) на одну из координатных плоскостей.
Например, если поверхность (s) имеет уравнение z = z(x,y) и проектируется однозначно в область D Ì XOY, то формула сведения поверхностного интеграла к двойному интегралу имеет такой вид:
| (2) |
Формула сведения поверхностного интеграла к двойномугде 
в декартовых координатах.
Пояснения к формуле
Если уравнение поверхности (s) имеет вид:  , то
 – это вектор нормали к поверхности в любой ее точке (x,y,z);
| 
|
в окрестности этой точки бесконечно малую часть поверхности (s) можно заменить бесконечно малой частью ее касательной плоскости, поэтому рассмотрим ds как площадь бесконечно малой части касательной плоскости, проведенной к поверхности (s) в ее точке (x,y,z);
- это проекция 
на плоскость XOY; тогда по свойству проекций верно, что
;
Здесь g - это угол между вектором 
и осью OZ, его косинус вычисляется как один из направляющих косинусов вектора :
Пример 1 (вычисление поверхностного интеграла I рода)
Вычислить 
, где (s) - часть поверхности цилиндра
z = 1 – x2, для которой 
.
| Решение
Строим поверхность (s) и ее проекцию D на плоскость XOY,
сводим данный поверхностный интеграл к двойному интегралу по проекции  и вычисляем получившийся двойной интеграл:
|
