Координаты центра масс пластинки

По свойству центра масс знаем, что механические характеристики материального тела можно вычислять, заменяя тело материальной точкой с массой, равной массе всего тела, но расположенной в центре масс.

Например, так можно вычислить статические моменты тела относительно координатных осей:

где m — масса всей пластинки, — расстояние от ее центра масс до оси OY, — расстояние от ее центра масс до оси OX.

Чтобы вычислить величины m, и нужно использовать формулы (4), (5) и (7). В результате получаем формулы для координат центра масс тонкой пластинки:

(10)

Формулы для координат центра масс тонкой пластинки

В частности, если пластинка является однородной, то её плотность выносится за знаки интегралов в числителе и в знаменателе обеих дробей и сокращается. В результате получаются более простые формулы для координат центра масс однородной пластинки:

(11)

Пример 4 (вычисление координат центра масс однородной пластинки)

Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной линиями и .

Решение

Построив фигуру, замечаем, что геометрически она является симметричной относительно прямой Так как фигура изготовлена из однородного материала, то она имеет не только геометрическую, но и физическую симметрию, то есть масса её части, которая расположена слева от оси симметрии, равна массе части, которая расположена справа. Тогда по известным физическим свойствам центра масс заключаем, что он находится на оси симметрии, то есть

Чтобы вычислить , составляем статический момент и используем формулы (4) и (5):

;

Ответ: C.