Геометрическая трактовка двойного интеграла
| Цилиндроид или цилиндрическое тело — это пространственное тело, ограниченное снизу областью DXOY, сверху — частью поверхности z = f(x,y), сбоку — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ. |
Двойной интеграл от функции f(x,y) по области D равен объему цилиндроида
Объем цилиндроида
| Для пояснения этого утверждения в определении двойного интеграла (2) проводим следующие геометрические истолкования: f(Pi)∙DSi = DVi — это объем элементарного цилиндра с основанием DSi и высотой f(Pi); — это объем ступенчатого тела, составленного из элементарных цилиндров (цилиндр отличается от цилиндроида тем, что ограничен сверху плоскостью, параллельной нижнему основанию); — это объем цилиндрического тела, ограниченного сверху частью поверхности z = f(x,y), проецируемой на область D, так как при все площадки уменьшаются (стягиваются в точки) и тем самым «ступенчатость» объёма сверху сглаживается поверхностью z = f(x,y). |