ВВЕДЕНИЕ

Лекція 7 Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку. Фундаментальна система розв’язків. Структура загального розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння. Принцип суперпозиції. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку зі сталими коефіцієнтами

Означення

Лінійним рівнянням n-го порядку називається рівняння:

(7.1)

де і неперервні функції (зокрема сталі). Якщо , то рівняння називається однорідним, якщо , то – неоднорідним.

Теорема 1

Якщо - частинні розв’язки рівняння

(7.2)

то лінійна комбінація їх , теж є розв’язком рівняння (7.2).

Вираз у лівій частині рівняння (7.1) або (7.2) називають лінійним диференціальним оператором n-го порядку і позначають :

,

якщо виконуються умови:

.

Нагадаємо, що система функцій є лінійно залежною на [a,b], якщо існують такі сталі , які одночасно не всі дорівнюють 0, і такі, що

(7.3)

Для двох залежних функцій і : і навпаки.

Якщо рівняння (7.3) виконується тільки для умови для всіх , то називаються лінійно незалежними.

Визначником Вронського або вронскіаном раз диференційованих функцій називається визначник:

;

для двох функцій:

На базі визначника Вронського даних функцій можна сформулювати конструктивну ознаку лінійної залежності чи незалежності цих функцій.

Теорема 2 Ознака лінійної залежності

Якщо і залежні на , то

Нехай і - два частинні розв’язки лінійного диференціального рівняння другого порядку

(7.4)

тобто

Помножимо перше рівняння на , а друге – на і віднімемо потім перший результат від другого. Тоді:

Це рівняння можна записати у вигляді:

Зінтегруємо останнє диференціальне рівняння за умови . Дістанемо відому вже формулу Остроградського-Ліувілля:

(7.5)

За допомогою цієї формули доводять наступну теорему.

Теорема 3

Якщо для довільного значення , а - розв’язки (7.4), то .

Особливість теореми в тому, що умову можна перевірити в даній точці, а результат перенести на весь інтервал.

Теорема 4

Якщо розв’язки рівняння (7.4) лінійно незалежні на , то .

Структуру загального розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку визначає теорема 5.

Теорема 5

Загальний розв’язок диференціального рівняння (7.4) є лінійною комбінацією двох його лінійно незалежних розв’язків, тобто .

Загального алгоритму пошуку розв’язку рівняння (7.4) не існує, але якщо відомо один розв’язок (який часто можна підібрати), то другий розв’язок можна дістати за допомогою формули (7.5). Справді, поділивши (7.5) на , дістанемо , звідки .

Оскільки йдеться про частинний розв’язок, то . Тоді загальний розв’язок диференціального рівняння (7.4) матиме вигляд .

Перейдемо до рівняння n-го порядку (7.2). Система його розв’язків називається фундаментальною, якщо всі розв’язки лінійно незалежні, тобто вронскіан для них відмінний від 0.

Теорема 6

Якщо маємо фундаментальну систему розв’язків однорідного диференціального рівняння (7.2), то його загальний розв’язок має вигляд , де - довільні стали.

Алгоритм розв’язку рівняння (7.2) теж невідомий, але, знаючи його один частинний розв’язок, можемо понизити порядок рівняння, зберігаючи лінійність, підстановкою .

Приклад

Теорема 7

Загальний розв’язок рівняння (7.1) дорівнює сумі загального розв’язку однорідного диференціального рівняння (7.2) і частинного розв’язку неоднорідного рівняння (7.1), тобто:

.

Принцип суперпозиції.

Якщо в рівнянні (7.1) , то загальний розв’язок рівняння (7.1) можна знайти як суму розв’язків рівнянь та загального розв’язку рівняння (7.2):

.