Надежность теплоэнергетического оборудования ТЭС 3 страница

Здесь F(x) – функция распределения величины Х:

. (4.12)

Вычисление значения функции распределения требует в каждом случае численного интегрирования. Чтобы избежать этого, используется нормированное нормальное распределение с m=0 и s=1. Для этого вводится новая переменная u:

.

Функция распределения принимает вид

.

Обычно используется обозначение

. (4.13)

Интеграл не выражается через элементарные функции. Это так называемый интеграл вероятности. Для него составлены таблицы. Поскольку функция Ф(u) симметрична, то .

Вероятность нахождения случайной величины X в диапазоне [a, b] определится выражением

. (4.14)

В ряде таблиц приводится значение интеграла для . При u=0 Ф(u)=0,5.

В том случае, когда случайная величина представляет произведение большого числа независимых случайных величин, среди которых нет преобладающих, то распределение ее вероятности соответствует логарифмически нормальному распределению.

Плотность распределения определяется выражением

, (4.15)

параметр нормированного распределения

. (4.16)

Закон определен для случайной величины x > 0. График плотности распределения показан на рис. 4.5.

Это распределение позволяет описать распределение случайной величины, имеющую положительную асимметрию.

Нормальное распределение хорошо согласуется с опытными данными, когда количество измерений достаточно велико. При малом количестве измерений более адекватным является распределение Стьюдента. . В качестве параметра распределения используется величина

. (4.17)

Плотность вероятности распределения параметра t зависит от величины t и числа степеней свободы n, n=n-1.

Кривые напоминают кривые нормального распределения, но при малых n (или n) они значительно медленнее сближаются с осью абсцисс. Общий вид кривых показан на рис.4.6. При увеличении количества измерений распределение Стьюдента приближается к нормальному распределению.

Значения плотности и функции распределения Стьюдента выражаются через гамма-функции, для вычисления которых необходимо численное интегрирование. Поэтому обычно пользуются статистическими таблицами, в которых в зависимости от числа степеней свободы n для нескольких значений уровня значимости a приводятся значения параметра t_кр(1), для которого вероятность появления значений t < t_кр(1) равна доверительной вероятности b=1-a (односторонний критерий) или t_кр(2), для которого вероятность выполнения условия – t_кр(2) < t < t_кр(2) равна b (двухсторонний критерий.

Применительно к описанию усталости металлов Вейбуллом предложено распределение, функция распределения вероятности которого имеет вид:

(4.18)

Плотность распределения

. (4.19)

Закон определен при x>m, x₀>0.Распределение имеет три параметра: m, x₀ и n. Параметр m соответствует характеристике положения случайной величины, параметр x₀ нормирует значение случайной величины и определяет степень рассеяния. Параметр n определяет вид кривой плотности распределения и также оказывает влияние на рассеяние случайной величины. При 0<n£ 1 график плотности представляет собой L- образную кривую, при n>0 кривая принимает колоколообразный вид. При m=0 и n=1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное распределение. Характерный вид кривых показан на рис. 3.7. В отличие от нормального распределение Вейбулла не имеет математического обоснования и является только достаточно хорошей аппроксимацией опытных данных. Вейбулл отмечал, что единственным достоинством этого распределения является простота математического выражения при выполнении необходимых общих условий. Опыт показывает, что во многих случаях это распределение лучше описывает некоторые наблюдения, чем другие известные функции.

Для представления непрерывных случайных величин используются также другие виды распределений, в частности c²-распределение Пирсона, F-распределение Фишера и т.д. Расчетные формулы или значения функций распределения приводятся в табличном виде в справочной литературе.

Для дискретных величин существует только функция распределения, так как производная от функции распределения не определена. Наиболее общим случаем дискретного распределения является биноминальное распределение.

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться, либо нет. Вероятность появления события А во всех опытах постоянна и равна p. В качестве дискретной случайной величины X будем рассматривать количество появления события А в этих опытах. Вероятность появления события ровно m раз равна

. (4.20)

Здесь C_n^m – число сочетаний m элементов из n,

.

Случайная величина с таким распределением называется биноминальной случайной величиной, а ее распределение – биноминальным. Параметрами распределения являются вероятность появления событий в одном опыте р и количество опытов n.

Математическое ожидание этого распределения

, (4.21)

дисперсия

. (4.22)

Такое распределение имеет, например, число отказавших однотипных невосстанавливаемых изделий в течение фиксированного интервала работы.

При биноминальный закон сходится к нормальному с параметрами .

При малых вероятностях p < 0,1 и большом количестве опытов, n > 10 биноминальное распределение сводится к распределению Пуассона, которое также называется законом редких событий.

Вероятность того, что случайная положительная целая величина X примет значение m, равна

. (4.23)

Параметром распределения является величина l > 0. Математическое ожидание и дисперсия равны:

. (4.24)

При больших значениях n > 50 распределение Пуассона приближается к нормальному распределению.

Закон Пуассона представляет устойчивое распределение, т. е. сумма случайных величин, каждая из которых имеет распределение Пуассона, также распределена по этому закону.

В статистике используются и другие распределения дискретных случайных величин. При необходимости сведения о них можно найти в справочной литературе.

Лекция 5. Количественные показатели надежности

Основными показателями надежности энергетической установки являются единичные показатели безотказности, долговечности, ремонтопригодности, а также комплексные показатели, характеризующие совместно свойства безотказности и ремонтопригодности.

Специфической особенностью показателей надежности является то, что они представляют собой числовые характеристики случайных величин, таких, как наработка объекта на отказ, наработка до предельного состояния, время восстановления работоспособного состояния, число отказов оборудования за фиксированный период времени и т.д.

Фактически надежность любого объекта можно достоверно определить только по завершении эксплуатации объекта, т.е. при достижении им предельного состояния. Для такого объекта известны все характеристики случайных величин, определяющие его надежность. По этим характеристикам можно определить среднюю наработку на отказ, его ресурс и срок службы, среднее время восстановления и т.д. Но это будут фактические показатели конкретного индивидуального объекта. Очевидно, али бы имелась информация об эксплуатации до предельного состояния другого образца, полностью аналогичного по конструкции, технологии изготовления, условиям эксплуатации, то получили несколько иные характеристики. Поэтому, когда речь идет о показателях надежности, это означает, что рассматриваются показатели некоторого среднего объекта. Фактические индивидуальные показатели отдельного объекта в этой партии будут отличаться от средних для партии.

В этом смысле показатели надежности объекта следует понимать статистически. Если, например, вероятность безотказной работы объекта в течение времени t оценивается значением 0,9 , то это означает, что из 10 таких объектов в среднем отработают время t безотказно и один откажет до момента t, причем заранее неизвестно, какой именно.

Закон надежности (безотказности)

Исторически сложилось так, что законом надежности объекта назвали закон безотказности. Этот закон P(t) определяет вероятность безотказной работы в течение заданной наработки t. Если известен закон распределения продолжительности работы невосстанавливаемого элемента в виде функции распределения F(t), то вероятность работы без отказа в течение времени t

(5.1)

Общий вид этого закона показан на рис.4.1. Вероятность того, что отказ наступит на интервале [a, b], равна

.

Закон надежности можно выразить через безусловную плотность вероятности отказа в момент времени t

(5.2)

или через безусловную плотность

. (5.3)

Интенсивность отказов

Такое название в теории надежности получила условная плотность l(t) распределения вероятности наработки невосстанавливаемого объекта до отказа. В соответствии с определением l(t) представляет условную вероятность отказа невосстанавливаемого объекта около момента времени t при условии, что до этого времени отказа не было.

. (5.4)

Формула (5.4) соответствует мгновенной интенсивности отказов. Средняя интенсивность отказов на интервале времени [t₁,t₂] рассчитывается по формуле

.

Понятие интенсивности отказов в соответствии с определением вводится только для невосстанавливаемых объектов, таких как электрическая лампочка, подшипник качения и т.д.

Восстанавливаемые элементы, которыми являются многие элементы электростанций, могут иметь много отказов, после которых происходит восстановление их работоспособности. В непосредственном виде понятие интенсивности отказов для них неприменимо, т.к. условие, что до момента t отказов не было, не выполняется. Отказы были, но после восстановления работоспособности оборудование продолжало работать.

Понятие интенсивности отказов для восстанавливаемых объектов имеет смысл в том случае, если объект в перерывах между отказами рассматривается как восстанавливаемый, а время эксплуатации t каждый раз начинает отсчитываться с момента последнего включения в работу.

Характер изменения интенсивности отказов во времени показан на рис.5.2.

Можно выделить три характерных периода:

1. Период приработки.

2. Период нормальной эксплуатации.

3. Период старения объекта.

В первый период отказы связаны с качеством проектирования, изготовления, монтажа, входного и выходного контроля.

Приработочные отказы объекта устраняются во время пуско-наладочных испытаний, его опытной эксплуатации и в принципе должны быть выявлены и устранены перед сдачей объекта в эксплуатацию. Обычно начинают рассчитывать надежность объекта, начиная с момента t₁.

На втором этапе отказы связаны с качеством эксплуатации, при этом процессы старения пока не влияют на поведение объекта. Интенсивность отказов остается приблизительно постоянной, l(t)=l₂.

В момент времени t₂ начинают проявляться процессы старения, интенсивность отказов возрастает. В некоторый момент времени t₃ эксплуатация объекта становится экономически неоправданной из-за увеличения затрат на восстановительные ремонты, оборудование достигает предельного состояния и выводится из работы.

Если известен момент времени t₂ и имеется возможность назначить t₃=t₂, то для такого объекта можно принять l(t)=l₂. Для периода t > t₂ такое допущение будет ошибочным. Если расчетчиков устраивает результат с запасом, т.е. с заведомо лучшими фактическими показателями надежности, чем дает расчет, то для этого временного интервала можно также принять l(t)=const, но при этом должно быть l(t) > l₂.

При l=const получается наиболее простой закон надежности объекта:

. (5.5)

Здесь l выступает в виде параметра распределения.

Средняя наработка до отказа

Это математическое ожидание случайной величины t – продолжительности аботы до первого отказа. Зная закон надежности, можно найти значение средней наработки:

(2.6)

На рис.5.3. показана геометрическая интерпретация средней наработки до отказа.

Величина T₁ есть такое значение t, при котором площадь прямоугольника с высотой 1 и основанием T₁ равна площади под кривой закона надежности. Для этого заштрихованные площади должны совпадать.

В том случае, если используется экспоненциальный закон надежности при l=const, значение Т₁ определяется из выражения

. (5.7)

Здесь l выступает в качестве параметра закона надежности. Аппроксимация экспоненциальным распределением закона надежности очень удобна. Среднюю наработку до отказа можно оценить эмпирически по формуле

, (5.8)

где T_i – продолжительность работы до отказа i-го объекта, n – количество однотипных элементов, за которыми проводится наблюдение.

Величину Т₁ можно также определить по экспертным оценкам, ориентируясь на опыт и справочные данные.

Если объект является невосстанавливаемым, то средняя наработка до отказа является также характеристикой долговечности. Вопрос об аппроксимации закона экспоненциальным распределением решается с учетом допустимых погрешностей при таком расчете.

Гамма-процентная наработка до отказа

Это наработка, в течение которой отказ не возникает с вероятностью g.

Эта характеристика поясняется на рис.5.4. Согласно определению, величина Т_g определяется из условия . Если известна плотность распределения наработки объекта до отказа f(t), то значения g и Т_g связаны зависимостью

,

откуда

. (5.9)

Медианная наработка до отказа Т_0,5 определяется по этой формуле при условии g=0,5

Параметр потока отказов

По аналогии с интенсивностью отказов невосстанавливаемых объектов показателем безотказности восстанавливаемых объектов является параметр потока отказов w(t). Предполагается, что эксплуатация восстанавливаемого объекта происходит по следующей схеме. В момент времени t=0 объект начинает использоваться по назначению и работает до отказа. После отказа происходит восстановление его работоспособности,и он продолжает работать до следующего отказа. При этом время восстановления объекта не учитывается, восстановление считается мгновенным. Моменты отказов восстанавливаемого объекта на оси суммарной наработки образуют поток отказов.

Мгновенным параметром потока отказов w(t) называется предел, если он существует, отношение среднего числа отказов в малом интервале около момента t.

, (5.10)

где - математические ожидания отказов m объекта за время t и t+Dt.

Параметр потока отказов может быть найден по эксплуатационным данным по формуле

, (5.11)

где - количество отказов за интервал наработки Dt.

Средний параметр потока отказов на интервале [t₁,t₂]

.

Отсюда среднее число отказов на интервале:

. (5.12)

Величина w(t)dt есть условная вероятность того, что отказ произойдет в интервале [t, t+Dt] при условии, что в момент времени t отказа не было.

Последовательные отказы восстанавливаемых объектов, как правило, независимы и в момент времени t происходит только один отказ, два и более отказов невозможны, т.е. поток ординарный. Чаще всего предполагают, что поток отказов представляет собой пуассоновский поток с постоянным параметром, или простейший стационарный поток. Это поток событий должен удовлетворять трем свойствам:

1) стационарность (среднее число событий в единицу времени постоянно, w=const);

2) отсутствие последействия (возникновение одного события не влияет на появление последующих);

3) ординарность (невозможность возникновения одновременно двух и более событий).

В общем случае, когда w(t) ¹ const, поток отказов восстанавливаемого оборудования называется пуассоновским с переменным параметром w(t). Вероятность безотказной работы такого объекта описывается формулой:

. (5.13)

В интервале времени до первого отказа восстанавливаемого объекта параметр потока отказов w(t) совпадает с интенсивностью отказов l(t),

. (5.14)

На следующем интервале времени от t₁ до t₂ от первого до второго отказа поведение w(t) будет определяться тем, насколько объект в результате ремонта восстановит свою надежность, т.е. приблизится по надежности к своему исходному состоянию l₁(t). Возможные варианты изменения параметра потока отказов показаны на рис.5.5.

Одним из предельных случаев является вариант а), когда объект полностью восстанавливает свою надежность при ремонте после отказа. После восстановления объект на интервале [t₁, t₂] будет вести себя так же, как на предыдущем интервале [0, t₁], т. е. всегда после ремонтов в эксплуатации будет находиться как бы новый по надежности объект. Среднее значение параметра потока отказов в течение всего периода эксплуатации останется постоянным и составит .

Вторым предельным случаем является вариант б), при котором восстановление работоспособности объекта не изменяет его надежности и, следовательно, не снижает значения параметра потока отказов. Интенсивность отказов продолжает возрастать, соответствуя ситуации, когда не было отказов и последующих за ними восстановления работоспособности.

Вариант в) занимает промежуточное положение, отражая ситуацию, когда при ремонте происходит частичное восстановление надежности оборудования. Интенсивность отказов возрастает по пунктирной кривой несколько медленнее, чем при варианте б).

Если закон надежности объекта имеет экспоненциальное распределение, т.е. соответствует варианту а) с постоянным для любого t параметром l, то для такого объекта и среднее число отказов за наработку t

. (5.15)

Средняя наработка на отказ

Это показатель безотказности восстанавливаемого объекта, численно равный отношению наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки.

, (5.16)

где - средний на интервале t параметр потока отказов w(t). Если при ремонте объекта его работоспособность восстанавливается полностью, то средняя наработка на отказ будет равна средней наработке до отказа:

. (5.17)

Для экспоненциального закона надежности средняя наработка на отказ

. (5.18)

Лекция 6. Характеристики ремонтопригодности и долговечности

Закон восстановления объекта

Этот закон представляет собой вероятность того, что время восстановления работоспособного состояния объекта не превысит величины t. Очевидно, что . Закон восстановления объекта соответствует функции распределении времени восстановления объекта после отказа:

. (6.1)

Если известна плотность распределения времени восстановления объекта, то

. (6.2)

Часто для описания времени восстановления как случайной величины используется экспоненциальное распределение. Это однопараметрический закон, имеющий функцию распределения

.

Плотность распределения

.

Закон определен для случайной величины x ³ 0, параметр распределения l₀>0. Математическое ожидание случайной величины

,

а дисперсия

.

По этому закону, как правило, распределяется также случайная величина – продолжительность работы оборудования до отказа, если его отказы не связаны со старением, т.е. износом оборудования, ухудшением определяющих его работоспособность характеристик. Это распределение наблюдается, когда отказы вызываются случайными внешними факторами, например, колебаниями тепловой, электрической или механической нагрузок, изменением качества топлива, особенностями работы различных операторов или другими случайными воздействиями.

При экспоненциальном законе распределения

, (6.3)

. (6.4)

Здесь m - параметр закона.

Интенсивность восстановления

Интенсивностью восстановления называется условная плотность распределения времени восстановления m(t) при условии, что до момента t восстановление не закончено. Так как продолжительность восстановления t_в обычно много меньше продолжительности работы t, то на практике чаще всего для аппроксимации интенсивности восстановления принимают экспоненциальный закон распределения с постоянным параметром m, тогда

, (6.5)

, (6.6)

. (6.7)

Среднее время восстановления

Это математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния объекта:

(6.8)

или

(6.9)

Для экспоненциального закона

, (6.10)

. (6.11)

В теплоэнергетике для некоторых элементов оборудования помимо чистого времени восстановительного ремонта необходимо дополнительное время, например, на расхолаживание топочной камеры или охлаждение фланцев корпуса турбины. В ядерной энергетике требуется выдержка времени для снижения ионизирующего излучения до допустимого уровня и проведения дезактивации. Поэтому иногда вместо термина среднее время восстановления используется термин среднее время простоя, вызванного отказом. Эти два термина равноправны и имеют один и тот же смысл.

Закон долговечности объекта

Предполагается, что оборудование эксплуатируется до наступления предельного состояния, т.е. до такого состояния, когда использование его по назначению невозможно или экономически невыгодно, или восстановление его работоспособности технически невозможно или экономически нецелесообразно.