Надежность теплоэнергетического оборудования ТЭС 2 страница

событие А ,

событие В ,

событие С .

По теореме сложения вероятностей

,

,

,

откуда

. (3.3)

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке.

Будем неограниченно уменьшать участок , предполагая, что . В пределе вместо вероятности опадания на участок получим вероятность того, что случайная величина Х примет отдельно взятое значение a

. (3.4)

Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция F(x) в точке х=a или же терпит разрыв. Если существует разрыв, то предел равен значению скачка. Если функция непрерывна, то этот предел равен нулю. Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Таким образом, обладать нулевой вероятностью могут не только невозможные, но и возможные события. Событие Х=a возможно, но вероятность его равна нулю.

Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина Х должна принять одно из возможных своих значений, то до опыта вероятность каждого из этих значений равна нулю. Однако в опыте случайная величина непременно примет одно из своих возможных значений, то есть произойдет одно из событий, вероятность которых равна нулю.

Частота события при большом количестве опытов не равна, а только приближается к вероятности. Из того, что вероятность события X=a равна нулю, следует только, что при неограниченном повторении опыта это событие будет появляться сколь угодно редко.

Рассмотрим отношение вероятности попадания случайной величины Х на участок от х до х+Dх к длине этого участка, то есть среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке. При стремлении Dх к нулю в пределе получим производную от функции распределения

. (3.5)

Функция f(x) характеризует плотность, с которой распределены значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения случайной величины Х. Ее также называют плотностью вероятности или дифференциальной функцией распределения. Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения. Вид кривой распределения изображен на рис.3.2.

Вероятность попадания случайной величины Х на элементарный участок шириной x, x+dx равна f(x)dx. Величина f(x)dx называется элементом вероятности. Геометрически это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx.

Вероятность попадания величины X на отрезок от a до b равна сумме элементов вероятности на этом участке, то есть интегралу

. (3.6)

Геометрически вероятность попадания величины Х на участок (a, b) равна площади под кривой распределения на этом участке.

Функция распределения связана с плотностью распределения зависимостью

. (3.7)

Геометрически значение функции распределения равно площади под кривой распределения, лежащей левее точки х. Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция, f(x)і0.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице

.

Геометрически основные свойства плотность означают, что вся кривая плотности распределения лежит не ниже оси абсцисс и полная площадь под кривой равна единице.

Функция распределения, как и вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения обратна размерности случайной величины.

В теории вероятностей для расчета процессов используются две основные аремы:

Теорема сложения вероятностей: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло.

Если события независимые, то вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий.

Плотность вероятности f(x) характеризует распределение вероятности значений случайной величины x до получения дополнительной информации о поведении этой величины и поэтому называется иногда безусловной плотностью вероятности f(x).

Допустим, что в качестве случайной величины рассматриваем появление отказа оборудования после продолжительности работы t. Распределение этой вероятности имеет безусловную плотность f(x). Далее наблюдаем за оборудованием в течение времени от t=0 до t=t₁ и видим, что за этот период отказы не наблюдались.

Вероятность появления отказа в момент времени t₁ при условии, что в течение периода от t=0 до t=t₁ отказы не появятся, будет иной, чем вероятность появления отказа в момент времени t=0, когда информация о поведении оборудования в течение периода от t=0 до t=t₁ отсутствует.

Безотказная работа оборудования в течение времени t₁ и появление отказа в момент t₁ есть два зависимых события. В теории надежности для расчета подобных явлений используется еще одна характеристика непрерывной случайной величины l(t), представляющая собой условную плотность вероятности того, что отказ произойдет в малом интервале времени [t, t+dt], если известно, что ранее отказа не наблюдалось.

Предположим, что закон распределения случайной величины – время появления отказа оборудования – описывается функцией распределения F(t) и плотностью вероятности f(t). По определению, значение F(t) равно вероятности того, что отказ оборудования появится в промежутке времени [0, t], а вероятность появления отказа в течение малого промежутка времени [t, t+dt] равна f(t)dt. Тогда вероятность безотказной работы на интервале [0, t] будет равна 1-F(t), а вероятность появления отказа на интервале [t, t+dt] при условии, что до этого момента отказов не было, равна l(t)dt. Рассматривая появление отказа на интервале времени [t, t+dt] как два последовательных события: отсутствие отказов до момента t и наступление отказа на интервале
[t, t+dt], по теореме умножения вероятностей получим

,

откуда найдем выражение для вычисления условной плотности вероятности через безусловные характеристики:

. (3.8)

Так как , а , то

, (3.9)

. (3.10)

В свою очередь функция и безусловная плотность распределения могут быть представлены через условную плотность:

или

.

Интегрируя это выражение от 0 до t и учитывая, что F(0)=0, будем иметь

,

,

. (3.11)

Из получим

. (3.12)

Во многих практических вопросах нет необходимости использовать полную характеристику случайной величины в виде закона распределения. Обычно удобнее пользоваться отдельными числовыми параметрами, отражающими основные свойства случайной величины.

Параметрами, определяющими положение случайной величины на числовой оси, служат характеристики положения. Главной из них является математическое ожидание случайной величины, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений. Это средневзвешенное значение случайной величины или теоретическое среднее арифметическое всех возможных значений. Для дискретной случайной величины математическое ожидание определяется по формуле

, (3.13)

для непрерывной – по формуле

. (3.14)

Наиболее важной характеристикой рассеивания случайной величины является дисперсия случайной величины, равная математическому ожиданию разности квадратов случайной величины и ее математического ожидания. Для вычисления дисперсии используются формулы:

для дискретной случайной величины

, (3.15)

для непрерывной

. (3.16)

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратичным отклонением случайной величины.

. (3.17)

Математическое ожидание m_x и дисперсия D_x или среднее квадратичное отклонение s_х характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Довольно часто ограничиваются только этими двумя показателями.

Теория вероятностей имеет дело с теоретическими величинами, такими, как вероятности событий, математическое ожидание, законы распределения случайных величин, дисперсии. На практике приходится иметь дело с реальными величинами, полученными в результате опыта. Это средние арифметические, частота событий и т.д. Вопросами обработки экспериментальных данных, анализа явлений по полученным результатам при массовых явлениях занимается математическая статистика.

Теория вероятностей предполагает, что при изучении случайных величин мы можем в результате опыта получить какое-либо значение случайной величины из совокупности возможных значений. Эта совокупность называется генеральной совокупностью. Для непрерывной случайной величины генеральная совокупность ее возможных значений бесчисленна, для дискретной величины она может быть также не ограничена или иметь чрезвычайно большое количество возможных значений.

В результате проведения опытов мы получаем только несколько значений случайной величины, может быть достаточно большое количество, но всегда ограниченное. Эти значения, выбранные случайным образом из генеральной совокупности, образуют выборочную совокупность значений. Совершенно очевидно, что характеристики выборочной совокупности могут отличаться от характеристик генеральной совокупности. Однако при увеличении количества опытов (объема выборки) параметры выборочной совокупности будут приближаться к характеристикам генеральной совокупности: среднее арифметическое к математическому ожиданию, частота к вероятности и т.д.

По аналогии с теорией вероятности статистической функцией распределения F*(x_i) случайной величины X называется частота события появления значений величины Х<x_i.

. (3.18)

Для того, чтобы найти значение статистической функции распределения при данном x_i, необходимо подсчитать число опытов, в которых случайная величина Х приняла значение, меньшее, чем x_i, и разделить это количество на общее число произведенных опытов.

Статистическая функция распределения любой случайной величины (прерывной или непрерывной) представляет собой прерывную ступенчатую функцию, скачки которой соответствуют наблюденным значениям случайной величины и по величине равны частотам этих значений. Если каждое отдельное значение случайной аующны наблюдалось только один раз, то скачок статистической функции распределения в каждом наблюденном значении будет равен , где n – число наблюдений.

Согласно теореме Бернулли при увеличении числа опытов n частота события Х<x_i для любого x_i сходится по вероятности к вероятности этого события. Следовательно, при увеличении n статистическая функция распределения будет приближаться к подлинной функции распределения F(x) случайной величины Х.

Если Х – непрерывная случайная величина, то при увеличении числа наблюдений n число скачков функции F*(x) будет увеличиваться, а сами скачки уменьшаться. График функции F*(x) приблизится к плавной кривой F(x).

В принципе построение статистической функции распределения полностью решает задачу экспериментального описания материала. Однако при большом числе опытов построение F*(x) трудоемко. Кроме того, во многих случаях оказывается более удобным представить результаты в виде, аналогичном плотности распределения случайной величины.

При большом числе наблюдений (порядка сотен) простая статистическая совокупность становится слишком громоздкой. Для большей компактности на основании простой статистической совокупности строится так называемый «статистический ряд». Для этого весь диапазон наблюденных значений Х разбивается на интервалы, затем подсчитывается количество значений m_i случайной величины Х, попавших в каждый i-й интервал. Это число делится на общее количество наблюдений n, в результате чего определяется частота событий попадания случайной величины в каждый интервал:

. (3.19)

Сумма частот всех разрядов будет равна единице:

. (3.20)

Таблица, в которой приведены разряды в порядке их расположения вдоль оси Х и соответствующие им частоты, называется статистическим рядом.

При группировке по разрядам значения величины Х, попавшие точно на границы интервала, относят с половиной частоты попадания в каждый сопряженный интервал.

Число разрядов, на которых группируется статистический материал, не должно ни быть слишком большим (тогда частоты будут случайным образом колебаться), ни слишком малым, чтобы не было слишком грубой оценки. Обычно ограничиваются количеством интервалов k=10…20.

Длины интервалов могут быть одинаковыми или различными. Если плотность распределения очень неравномерна, то удобно выбирать в области высокой плотности более узкие интервалы, а в области низкой плотности – более широкие.

Далее предполагается, что внутри каждого интервала случайная величина принимала только одно значение, равное среднему арифметическому границ интервала:

. (3.21)

Согласно этому предположению значения случайной величины меньше в опытах не наблюдались, т.е. для . Далее при происходит скачкообразное увеличение значения функции распределения на величину Р^*₁, которое сохраняется до . При этом значении х функция распределения увеличивается до . Аналогичным образом график функции распределения строится для остальных интервалов. Последний скачок функции на величину Р^*_k происходит в точке . Здесь функция распределения достигает своего максимального значения . Это соответствует тому, что в опытах не наблюдались величины .

В тех случаях, когда не требуется полной информации о законе распределения случайной величины, бывает достаточно ограничиться некоторыми численными характеристиками. По аналогии с теорией вероятности, в математической статистике для представления о поведении случайной величины наиболее часто применяются характеристика положения (среднее арифметическое – аналог математическому ожиданию) и характеристики разброса значений случайной величины относительного среднего положения (выборочные дисперсия и среднеквадратичное отклонение – аналоги дисперсии и среднеквадратичного отклонения генеральной совокупности).

Среднее арифметическое наблюдаемой величины рассчитывается по формуле

. (3.22)

Эту характеристику иногда называют статистическим средним случайной величины. При достаточно большом n величина сходится по вероятности к математическому ожиданию. При ограниченном числе опытов статистическое среднее является случайной величиной, которая, тем не менее, связана с математическим ожиданием и может дать о нем известное представление.

Для того, чтобы различать дисперсию и среднее квадратичное генеральной совокупности и подобные характеристики выборочной совокупности, обычно первые величины обозначают буквами D и s, а выборочные характеристики – буквами S₂ и S.

Выборочная дисперсия рассчитывается по формуле

, (3.23)

выборочное среднеквадратичное отклонение

. (3.24)

Теоретически показано, что средним значением S₂ является не дисперсия генеральной совокупности D_х, а несколько меньшая величина . Таким образом, величина S₂ будет сходиться по вероятности не к теоретическому значению D_х, а к несколько меньшему значению . При этом оценка величин D и s по величинам S₂ и S дает некоторое смещение результатов, которое можно устранить, введя соответствующие поправки:

, (3.25)

. (3.26)

Величина называется несмещенной оценкой дисперсии или несмещенной выборочной дисперсией, величина называется несмещенным средним квадратичным отклонением.

Расчет значения выборочной дисперсии удобно производить по формуле

, (3.27)

которая соответствует формуле (3.25).

Лекция 4. Законы распределения случайных величин

Для любой случайной величины Х, непрерывной или дискретной, существует закон ее распределения. Формы записи этого закона могут быть различными. Для дискретных случайных величин это ряд распределения или интегральный закон, функция распределения F(x). Для непрерывной случайной величины используются интегральный закон, функция распределения F(x) и дифференциальная форма – плотность распределения f(x). На практике эти законы проявляются в виде реализации определенных событий, причем данные о распределении случайной величины существуют только в виде набора пар чисел: значение случайной величины – частота появления этого значения.

Для того, чтобы проводить прогностические расчеты, необходимо иметь аналитическую запись этих законов в виде определенных математических формул. Вид математического описания выбирается исходя из теоретических представлений о распределении случайной величины или на основании экспериментальных данных. Соответствие аналитических зависимостей и экспериментальных данных достигается путем подбора численных значений коэффициентов, входящих в аппроксимирующие формулы. Эти коэффициенты называются параметрами распределения случайной величины. Для их подбора обычно применяется принцип максимального правдоподобия, частным случаем которого является метод наименьших квадратов.

Поскольку существует различие в описании распределения непрерывных и дискретных случайных величин, то и для их аппроксимации применяются различные формулы.

Для непрерывных случайных величин наиболее простым является равномерное (прямоугольное) распределение с двумя параметрами {a, b}, соответствующим границам интервала, внутри которого может находиться случайная величина. Это распределение встречается в основном в двух типовых ситуациях: во-первых, когда в некотором интервале все значения случайной величины равновозможны и, во-вторых, при аппроксимации других непрерывных распределений в относительно малых интервалах.

Равномерное распределение на интервале [a, b] задается плотностью

. (4.1)

Функция распределения на этом интервале

. (4.2)

Условная плотность распределения

. (4.3)

Математическое ожидание соответствует середине интервала:

. (4.4)

Дисперсия распределения

. (4.5)

Графики функции и плотности распределения показаны на рис.4.1.

Некоторые случайные величины имеют экспоненциальное распределение с одним параметром l₀>0.

Функция распределения

. (4.6)

Плотность распределения

. (4.7)

Условная плотность распределения

. (4.8)

Закон определен для случайной величины x ³ 0. Математическое ожидание случайной величины

, (4.9)

дисперсия

. (4.10)

По экспоненциальному закону, как правило, распределяется случайная величина – продолжительность работы оборудования до отказа, если его отказы не связаны со старением, т.е. износом оборудования, ухудшением определяющих его работоспособность характеристик. Это распределение наблюдается, когда отказы вызываются случайными внешними факторами, например, колебаниями тепловой, электрической или механической нагрузок, изменением качества топлива, особенностями работы различных операторов или другими случайными воздействиями.

Графики функции и плотности экспоненциального распределения показаны на рис.4.2.

Наиболее общим является распределение Гаусса или нормальное распределение. Этот закон занимает особое положение. Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону распределения. По этой причине нормальный закон распределения наиболее часто встречается в природе.

Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, как, например, ошибки измерений, могут быть представлены как суммы большого числа малых элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законом распределения ни подчинялись отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений в сумме нивелируются и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности:

. (4.11)

Кривая плотности распределения по нормальному закону, приведенная на рис.3.3, имеет симметричный холмообразный вид. Максимальная ордината кривой, равная , соответствует точке x=m. По мере удаления от точки x=m плотность распределения падает и при x® ± ¥ кривая асимптотически прижимается к оси х.

Параметрами распределения являются коэффициенты m и s. Величина m здесь соответствует математическому ожиданию случайной величины; s - среднее квадратичное отклонение величины х.

Если изменить величину m, то кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя своей формы. Центр рассеивания характеризует положение распределения на оси абсцисс.

Параметр s характеризует не положение, а саму форму кривой распределения. Это характеристика рассеяния. Наибольшая ордината кривой обратно пропорциональна величине s, чем больше s, тем ниже максимальное значение f(x). Влияние этих параметров показано на рис.4.4.

Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, необходимо определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал [a,b]:

.