Лекция 18. Магнитные свойства твердых тел. Основные виды магнетиков. Гиромагнитные соотношения. Ферромагнетики. Антифферомагнетики. Ферриты.

Лекция 16. Электрический свойства твердых тел. Плотность квантовых состояний в зоне проводимости и в валентной зоне. Эффект Холла для двумерного электронного газа. Электронный газ: критерий вырождения.

Электрические свойства твердых тел непосредственно связаны с распределения электронов (и дырок) по энергетическим уровням атомов, из которых состоит твердое тело.

Дырки - свободные, незаполненные состояния, образовавшиеся в результате ухода электронов из валентной зоны, являются носителями положительного заряда, могут как и электроны перемещаться по кристаллу

Следовательно, кроме определения возможных квантовых состояний электронов (и дырок) необходимо знать распределение носителей заряда (электрона или дырки) по этим квантовым состояниям. Для чего в данной лекции рассматривается плотность квантовых состояний в зоне проводимости и в валентной зоне (т.е. в разрешенных энергетических зонах) для классического 3D электронного газа:

плотность квантовых состояний электронов в зоне проводимости , здесь Е_C – энергия, соответствующая дну зоны проводимости, m_n эффективная масса электрона

плотность квантовых состояний дырок в валентной зоне здесь Е_V – энергия, соответствующая потолку валентной зоны, m_p эффективная масса дырки

Приведенные выше соотношения не описывают реальную плотность квантовых состояний в реальном кристалле, т.к. в частности, при их выводе не учитывалась анизотропия кристалла, взаимодействие атомных остовов, перекрытие волновых функций. Так что в реальном кристалле виды N_e(E) и N_p(E) имеют более сложный вид.

В лекции также приведены функции распределения электронов по энергиям Ферми−Дирака (вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией Е)

и Максвелла−Больцмана (реализующееся, если энергия Ферми находится в запрещенной зоне энергий и отстоит от дна зоны проводимости более, чем на k_BT, случай невырожденного полупроводника)

,

здесь F – энергия Ферми. Из функции Ферми–Дирака можно дать определение энергии Ферми как энергии такого квантового состояния, вероятность заполнения которого равна 1/2.

Заметим, что в случае невырожденного полупроводника, когда уровень Ферми лежит выше потолка валентной зоны хотя бы на 2k_BT, функция распределения дырок по энергиям f_p имеет вид .

Определены концентрации носителей заряда (электронов и дырок):

концентрация электронов в зоне проводимости равна , здесь N_C - эффективная плотность состояний в зоне проводимости;

концентрация дырок в валентной зоне , здесь N_V - эффективная плотность состояний в валентной зоне.

В лекции также приведен критерий вырождения электронного газа в полупроводнике, который можно сформулировать следующим образом: вырождение в полупроводнике наступает тогда, когда энергия Ферми F приближается к дну зоны проводимости или к потолку валентной зоны на расстояние порядка k_ВT. Заметим, что электронный газ в металлах всегда вырожден, поскольку энергия Ферми в металлах располагается внутри зоны проводимости.

Рассмотрен эффект Холла для двумерного электронного газа. Эффект Холла заключается в появлении поперечной разности потенциалов (холловское напряжение) при протекании электрического тока в твердых телах при наличии магнитного поля, перпендикулярного к плоскости протекания тока (в отсутствии магнитного поля эффект не проявляется). В случаях сильного магнитного поля B, перпендикулярного плоскости 2D электронного газа, происходит квантование энергии, при этом величина кванта энергии =. Возникший дискретный энергетический спектр определяется соотношением Эти квантованные значения энергии (энергетические уровни) заряженной частицы (электрона и др.), движущейся в плоскости, перпендикулярной магнитному полю носят название уровней Ландау по имени их открывателя, решившего уравнение Шрёдингера для заряженной частицы в магнитном поле в 1930 году.

С учетом возникающего квантования по магнитному полю B зависимость холловского сопротивления R_xy будет

.

e степень заполнения i-го уровня Ландау

На зависимости холловского сопротивления R_xy от избытка электронов Γ_n. на месте полного заполнения уровней Ландау возникают ступеньки, это так называемый квантовый эффект Холла, на которых величина холловского сопротивления

Тест

Вопрос 1. плотность квантовых состояний электронов в зоне проводимости выражается соотношением

Варианты ответов:

Вопрос 2. функции распределения электронов по энергиям Ферми−Дирака (вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией Е) записывается в виде:

Варианты ответов:

Вопрос 3. В каком случае (вырожденный или невырожденный полупроводник) функция Ферми-Дирака переходит в распределение Максвелла−Больцмана. Варианты ответов:

вырожденный полупроводник, невырожденный полупроводник

Вопрос 4. концентрация дырок в валентной зоне пропорциональна

Варианты ответов:

Вопрос 5. Вырожден ли электронный газ в металлах

Варианты ответов: да, нет

Вопросы для контроля.

1. Сформулируйте критерий вырождения электронного газа в полупроводнике

2. В чем заключается эффект Холла для двумерного электронного газа

3. Что такое уровни Ландау.

4. Что такое квантовый эффект Холла

Лекция 17. Электрический свойства твердых тел: классическая теория свободных электронов Друде−Лоренца, один из вариантов записи кинетического уравнения Больцмана, дифференциальный закон Ома, подвижность носителей заряда, проводимость в полупроводниках.

Некоторые особенности поведения металлов были объяснены с помощью классических (неквантовых) теорий, основанных на классическом распределении скоростей свободных электронов (распределение Больцмана). В основе теории Друде-Лоренца предположение о том, что электроны проводимости, являющиеся свободными носителями заряда в металлах, образуют электронную подсистему со свойствами классического электронного идеального газа; а кристаллическая решетка металла является вместилищем, просто «сосудом», для электронного газа. При этом электроны считаются не взаимодействующими друг с другом и испытывают при движении столкновения только с положительными ионами кристаллической решетки металла. Т.е. предполагается, что средняя длина свободного пробега электрона определяется упругими столкновениями его с положительными ионными остовами. Таким образом, можно просуммировать предположение первой классической модели свободных электронов в металле, построенной Друде в 1900 году, которые тем не менее являются частью более точных моделей:

1. Все электроны движутся с одинаковыми среднеквадратичными скоростями, определяемыми распределением Больцмана:

2. Движущиеся электроны рассеиваются в результате беспорядочных соударений с атомными остовами. После любого соударения скорость равна нулю, т. е. любая (в том числе дрейфовая) скорость уничтожается в результате столкновения.

3. В промежутках между соударениями поле может изменять скорость движения электронов на любую величину, но результат действия поля обнуляется при соударении.

Электропроводность металла, найденная с использованием модели Друде выражается соотношением

, где n_e – число электронов в единице объема, m-масса электрона, e- заряд электрона, t_e время свободного пробега электрона, l_e длина свободного пробега электрона, v_t тепловая скорость электрона, Т температура, k_B постоянная Больцмана.

Лоренц учел, что скорость электронов не одинакова и использовал модифицированное распределение Больцмана в присутствии электрического или теплового градиентов. Формула для электропроводности s в модели Лоренца

И отношение электропроводностей составляет:

Однако, в классической теории свободных электронов Друде−Лоренца электропроводность s изменяется пропорционально , а в экспериментах ~ T^-1, также данная теория дает необоснованно большой вклад электронов в теплоемкость.

Поскольку теории в рамках классической физики не объясняют весь спектр особенностей отклика электронов в твердом теле на внешние воздействия, то дальнейшее рассмотрение целесообразно проводить в рамках квантовой теории, учитывая, что под действием внешних факторов функция распределения электронов по энергиям становится неравновесной. В рамках квантовой теории изменение функции распределения электронов описывается кинетическим уравнением Больцмана:

Под действием слабого электрического поля e кинетическое уравнение Больцмана для газа свободных электронов твердых тел может быть переписано в виде:

,

где f функции распределения электронов по состояниям, f₀ -равновесная функция распределения электронов по энергиям Е в отсутствии внешних воздействий, v_x− проекция скорости электрона на направление электрического поля.

Кинетическое уравнение Больцмана применено к анализу проводимости твердых тел в слабых электрических полях и получен дифференциальный закон Ома, записываемой в форме:

где j -плотность тока, e - внешнее электрическое поле, <τ> - усредненное время релаксации, m^* – эффективная масса электрона

Тогда удельная электропроводность s газа свободных электронов в твердом теле

а подвижность m_n носителей заряда

Как видно из приведенных выше соотношений, для определения электропроводности и подвижности необходимо знать зависимость времени релаксации от энергии электронов τ(E), которая определяется конкретным механизмом рассеяния. Основные механизмы рассеяния свободных носителей в твердых телах: рассеяние на колебаниях решетки (акустических и оптических фононах), рассеяние на заряженной примеси, рассеяние на нейтральных атомах.

Для фононного механизма рассеяния

, где const зависящая от материала и эффективной массы электрона

Для рассеяния на ионизованной примеси

, где постоянная величина, зависящая от концентрация примеси, эффективной массы электронов и их количества.

При наличии в твердом теле нескольких доминирующих типов рассеивания, вероятность рассеивания на каждом из них не зависит друг от друга и должны суммироваться обратные значения времен релаксации и обратные значения подвижности свободных носителей заряда.

При наличии двух типов свободных носителей – электронов и дырок – проводимость σ полупроводника будет суммой электронной σ_n и дырочной σ_p компонент проводимости: σ = σ_n + σ_p. Величина электронной и дырочной компонент полной проводимости определяется классическим соотношением:

где μ_n и μ_p – подвижности электронов и дырок соответственно, n₀ и p₀ число электронов и дырок в единице объема. Электрический ток обусловлен двумя причинами: наличием электрического поля Е и существованием градиента концентрации свободных носителей. Таким образом, плотность тока в полупроводниках в общем случае:

где j – плотность тока, j_nE – дрейфовая компонента электронного тока, j_nD – диффузионная компонента электронного тока, j_pE – дрейфовая компонента дырочного тока, j_pD – диффузионная компонента дырочного тока.

здесь n и p число электронов и дырок в единице объема, Е –электрическое поле, D_n – коэффициент диффузии электронов, связанный с подвижностью электронов μ_n соотношением

Аналогичное соотношение применимо для коэффициента диффузии дырок D_p.

Тест:

Вопрос 1. Одинаковы или нет скорости электронов в классической теории свободных электронов Друде.

Варианты ответов: одинаковы, не одинаковы.

Вопрос 2. Учитываются ли в классическая теория свободных электронов Друде−Лоренца взаимодействия электронов друг с другом

Варианты ответов: да, нет

Вопрос 3. Одинаковы или нет скорости электронов в классической теории свободных электронов Лоренца

Варианты ответов: одинаковы, не одинаковы.

Вопрос 4. Чему пропорциональна электропроводность s в классической теории свободных электронов Друде−Лоренца

Варианты ответов:

Вопрос 5. В рамках квантовой теории изменение функции распределения электронов описывается

Варианты ответов:

функцией Ферми−Дирака; функцией Максвелла−Больцмана; кинетическим уравнением Больцмана

Вопрос 6. подвижность m_n носителей заряда записывается в виде:

Варианты ответов:

Вопрос 7. Для фононного механизма рассеяния подвижность носителей заряда пропорциональна

Варианты ответов:

Вопрос 8. Для рассеяния на ионизованной примеси подвижность носителей заряда пропорциональна

Варианты ответов:

Вопрос 9. При наличии в твердом теле нескольких типов рассеивания должны суммироваться

Варианты ответов: подвижности свободных носителей заряда или обратные значения подвижности свободных носителей заряда

Вопрос 10. Связь между величина электронной компоненты полной проводимости σ_n и подвижности электронов μ_n

Варианты ответов:

Вопрос 11. Электрический ток обусловлен

Варианты ответов:

электрическим полем Е;

градиентом концентрации свободных носителей;

обеими причинами

Вопрос 12. Связь между коэффициентом диффузии электронов и их подвижностью определяется выражением

Варианты ответов:

Поскольку все вещества проявляют магнитную активность, то можно утверждать, что магнитные свойства веществ определяются электронами, протонами и нейтронами. Каждый атом состоит из ядра, состоящего в свою очередь из протонов и нейтронов, и электронного облака. Исследования показали, что магнитные моменты протона и нейтрона почти на три порядка меньше наименьшего магнитного момента электрона, поэтому магнитные свойства атома определяются электронами. По характеру взаимодействия магнитных моментов с внешним полем определяется принадлежность данного вещества к одному из пяти видов: диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики, антиферромагнетики, ферримагнетики (ферриты), все они зазываются магнетиками. Каждый электрон обладает спиновым магнитным моментом (обусловлен вращением электрона вокруг собственной оси) и орбитальным магнитным моментом (обусловлен движением электрона по замкнутой орбите внутри атома), полный магнитный момент атома - геометрическая сумма орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов, относящихся к данному атому. Вводится понятие намагниченности: , где - суммарный магнитный момент вещества, находящегося в магнитном поле, V –объем вещества. Таким образом, намагниченность− векторная величина, модуль которой равен магнитному моменту единицы объема вещества и связанная с индукцией магнитного поля (или напряженностью ) соотношением , где − магнитная постоянная (определяет плотность магнитногопотока в вакууме), m - относительная магнитная проницаемость (показывает, во сколько раз магнитная индукция поля в веществе отличается от магнитной индукции в вакууме, принятой за 1 (т.е. в вакууме m=1)), c − магнитная восприимчивость вещества (характеризует способность данного вещества намагничиваться полем напряженности ). Вещества, у которых намагниченность сонаправлена вектору напряженности внешнего магнитного поля (), т.е. магнитная восприимчивость c > 0, называются парамагнетикам. Соответственно, вещества, у которых магнитная восприимчивость c < 0, т.е. векторы намагниченности и напряженности внешнего магнитного поля направлены противоположно друг другу (), являются диамагнетиками. Зависимость намагниченности этих типов магнетиков от величины напряженности магнитного поля Н является линейной (для парамагнетиков только в области слабых полей и высоких температур, в сильных полях и при низких температурах зависимость j(H) нелинейна и выходит на насыщение), и при отсутствии внешнего поля она равна нулю. Веществ, обладающих спонтанной намагниченностью и имеющую отличную от нуля магнитную восприимчивость c¹0 даже в отсутствие внешнего поля, называются ферромагнетиками. Для ферромагнетика результирующее поле в нем (магнитная индукция) складывается из напряженности внешнего магнитного поля и намагниченности , создающей внутреннее магнитное поле: . Используя это соотношение, а также и можно получить .

Поскольку магнитный момент атомов связан с движением электронов относительно своей оси и их орбитальным движением, то существует связь между механическими и магнитными характеристиками атомов, которая задается гиромагнитными соотношениями: , где - спиновый магнитный момент электрона, - орбитальный магнитный момент электрона, P^орб - орбитальный механический момент электрона, P^сп - спиновый механический момент электрона, е − заряд электрона, а т − его масса. Согласно первому постулату Бора орбитальный момент количества движения электрона P^орб должен быть квантован и кратен величине , поэтому квантован и орбитальный магнитный момент . Введено понятие «магнетон Бора» - магнитный момент атома с одним электроном, движущимся по первой орбитали

Кратко рассмотрено явление ферромагнетизма обусловленное взаимодействием между соседними атомами, которое стремится упорядочить их спины. Спонтанная (в отсутствии внешнего магнитного поля) намагниченность материала достигнет своего максимального значения, если взаимодействие настолько сильно, что все соседние спины устанавливаются параллельно друг другу, т. е. возникает дальний магнитный порядок. Возникновение дальнего магнитного порядка является результатом как сильного взаимодействия ближайших соседних атомов, так и непрерывности кристалла. Тепловые колебания атомов, анизотропия кристалла, взаимодействие d-электронов с электронами проводимости, влияние дефектов решетки приводят к нарушению спинового упорядочения. Вейсс предположил, что макроскопический образец ферромагнетика состоит из множества областей, называемых доменами, каждый из которых намагничен до насыщения, но направления векторов суммарной намагниченности отдельных доменов ориентированы по-разному, поэтому результирующая намагниченность образца ферромагнетика оказывается равной нулю. Домены друг от друга отделены слоями - стенками Блоха (толщиной приблизительно в 300 параметров решетки, что составляет около 1000 Å), в которых происходит поворот спинов от ориентации, свойственной одному домену, к ориентации, свойственной соседнему.

В веществах, содержащих атомы (ионы) с нескомпенсированными спинами электронов на недостроенных электронных оболочках может наблюдаться антипараллельное упорядочение спинов без воздействия внешнего магнитного поля. Такие вещества называются антиферромагнетиками и имеют доменную структуру, внутри каждого домена наблюдается строгая упорядоченная ориентация спинов, но только оно антипараллельно.

Ферриты – антиферромагнетики, в которых в силу различных факторов (вследствие неодинакового количества атомов в подрешетках или же их разной природы) магнитные моменты подрешеток неодинаковы по величине (как в обычных антиферромагнетиках) и противоположны по направлению, поэтому они не компенсируют друг друга. В этом случае появляется отличная от нуля разность магнитных моментов подрешеток и возникает спонтанная намагниченность всего кристалла. Это явление называется ферримагнетизмом.

Тест

Вопрос 1. Чем обусловлен спиновый магнитный момент

Варианты ответов:

вращением электрона вокруг собственной оси

движением электрона по замкнутой орбите внутри атома

Вопрос 2. Чем обусловлен орбитальный магнитный момент

Варианты ответов:

вращением электрона вокруг собственной оси

движением электрона по замкнутой орбите внутри атома

Вопрос 3. Вещества, у которых намагниченность сонаправлена вектору напряженности внешнего магнитного поля (), т.е. магнитная восприимчивость c > 0, однако в отсутствии поля c=0, называются

Варианты ответов: парамагнетики, диамагнетики, ферромагнетики

Вопрос 4. вещества, у которых магнитная восприимчивость c < 0, однако в отсутствии поля c=0, т.е. векторы намагниченности и напряженности внешнего магнитного поля направлены противоположно друг другу () называются

Варианты ответов: парамагнетики, диамагнетики, ферромагнетики

Вопрос 5. . Веществ, обладающих спонтанной намагниченностью и имеющую отличную от нуля магнитную восприимчивость c¹0 даже в отсутствие внешнего поля, называются

Варианты ответов: парамагнетики, диамагнетики, ферромагнетики

Вопрос 6. Квантован ли орбитальный магнитный момент

Варианты ответов: да, нет

Вопрос 7. Наблюдается ли дальний магнитный порядок в ферромагнетиках

Варианты ответов: да, нет

Вопросы для контроля

1. Назовите 5 видов магнетиков

2. Дайте определение намагниченности

3. Напишите гиромагнитные соотношения

4. Что такое магнетон Бора

5. Что такое стенки Блоха в ферромагнетиках