Лекция 13. Изменение состояния электронов при сближении атомов. Приближение почти свободных электронов. Модель Кронига–Пенни.

Изолированный атом можно рассматривать как потенциальную яму, в которой электрон может занимать одно из нескольких дискретных энергетических состояний. Если атомы находятся на расстоянии много больше периода кристаллической решетки, то взаимодействием между ними можно пренебречь, а потенциальный барьер препятствует свободному переходу электронов от одного атома к другому. Если атомы находятся на расстоянии порядка параметра решетки (несколько ангстрем a~ 10^-10 м), то взаимодействие между ними уже не пренебрежимо мало и за счет него уменьшается высота потенциального барьера. Уменьшение высоты потенциальных барьеров при сближении атомов приводит к тому, что валентные электроны в металлах переходят между атомами. Таким образом, в кристаллах происходит не только уменьшение высоты потенциальных барьеров, но и качественное изменение энергетических уровней электронов в атомах. Исходя из соотношения неопределенности энергии-времени и принимая во внимание, что скорость движения электронов в металлах ~ 10⁵м/с, а около конкретного узла решетки он находится в течение приблизительно 10^-15 с, то можно получить, что ширина энергетического уровня DE ~ 1 эВ. Это означает, что в кристаллах энергетический уровень электрона расщепляется в энергетическую зону и возникает система энергетических зон, которые представляют собой не непрерывный ряд значений энергии электронов, а система близких друг к другу дискретных уровней энергии. Расстояния между этими подуровнями чрезвычайно малы, так что такую область можно рассматривать как энергетическую зону с квазинепрерывным спектром энергетических состояний. Отсюда следует что, моноэнергетический уровень превращается в энергетическую зону - зону разрешенных энергий. Зоны разрешенных энергий чередуются с зонами запрещенных энергий. В качестве первого приближения для описания поведения электронов в кристалле полем ионных остовов пренебрегают и используют модель электронного Ферми-газа, называемую также приближением свободных электронов.Согласно теории Ферми-газа, функция плотности состояний для электронов Ферми-газа имеет вид:

. Энергия Ферми (наивысший энергетический уровень, занятый электронами при нуле температур; при T=0 эквивалентен химическому потенциалу системы в ее основном состоянии, т.е при Т=0) при температуре абсолютного нуля вычисляется по формуле: , где n- концентрации свободных электронов. Энергия Ферми при температуре Т вычисляется согласно . Поскольку модель свободных электронов всё же не может полностью описать поведение электрона в кристалле, то рассматривается модель почти свободных электронов, предложенная Крониг и Пенни: движение электрона в линейной цепочке прямоугольных потенциальных ям. В рамках модели Крониг и Пенни объяснено возникновение запрещенных зон с энергетической точки зрения и намечена зависимость энергии электрона от волнового числа k для барьеров различной прозрачности P. Конкретный вид зависимости энергии электрона от его волнового вектора определяется несколькими факторами: симметрией кристалла, типом атомов, его образующих. Анизотропия кристалла обуславливает зависимость от кристаллографического направления. На основе зонной теории вещества классифицированы на металлы, полупроводники и диэлектрики:

1. у металлов над целиком заполненными зонами располагается зона лишь частично заполненная.

2. диэлектрики - тела, у которых над целиком заполненными зонами располагаются полностью пустые, отделенные широким запрещенным интервалом.

3. полупроводники - вещества, имеющие сравнительно узкую запрещенную зону.

Тест:

Вопрос 1. Что происходит с потенциальными барьерами при сближении атомов

Варианты ответов: уменьшение высоты, увеличение высоты, высоты барьеров остаются на прежнем уровне

Вопрос 2. Какое качественное изменение энергетического уровня электрона происходит при сближении атомов на расстояние параметра решетки в металлах

Варианты ответов: ничего не происходит; расщепляется в энергетическую зону

Вопрос 3 Строение энергетической зоны

Варианты ответов: непрерывный ряд значений энергии электронов; система близких друг к другу дискретных уровней энергии; система далеко отстоящих друг от друга уровней энергии.

Вопрос 4. Энергия Ферми при температуре абсолютного нуля в зависимости от n- концентрации свободных электронов в модели электронного Ферми-газа вычисляется по формуле:

Варианты ответов:

; ;

Вопросы для контроля:

1. Качественно опишите как происходит расщепление энергетического уровня электрона расщепляется в энергетическую зону, что это означает.

2. Дайте основные характеристики модели электронного Ферми-газа (модели свободных электронов)

3. Нарисуйте качественный вид функция заполнения состояний электронами Ферми-газа при температурах Т₁=0 <Т₂< Т₃

4. Назовите основные положения модели почти свободных электронов (модели Кронига–Пенни)