Экстремум функции двух переменных
Понятие максимум, минимум, экстремум функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной. Пусть функция определена в некоторой области , точка .
Определение 2.1. Точка называется точкой максимума , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство
.
Определение 2.2. Точка называется точкой минимума , если существует такая -окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство
.
Значение функции в точке максимум (минимум) называется максимум (минимум) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер; значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к . В области функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
Рассмотрим условия существования экстремума функции (примем без доказательства).
Теорема 2.1 (необходимое условие экстремума). Если точка является точкой экстремума функции , то или хотя бы одна из этих производных не существует.
Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых заранее уверены в существовании максимума или минимума. В противном случае требуется дополнительное исследование.
Например, функция имеет частные производные , которые обращаются в нуль при . Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, эта функция равна нулю в начале координат и принимает в как угодно близких точках от начала координат как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, значение нуль не является ни максимумом, ни минимумом.
Например, функция имеет экстремум в точке , но не имеет в этой точке частных производных.
Определение 2.3. Точки, в которых хотя бы одна частная производная равна нулю или не существует, то такие точки называются критическими точками.
Если речь идет о точках, в которых частные производные первого порядка равны нулю, то такие точки называются стационарными точками.
Для исследования функции в критических точках сформулируем достаточное условие экстремума функции двух переменных. Следующую теорему примем без доказательства.
Теорема 2.2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точку . Вычислим в точке значения . Обозначим
.
Тогда:
1. если , то функция имеет экстремум в точке :
§ максимум, если ;
§ минимум, если ;
2. если , то функция не имеет экстремума в точке ;
3. если , то экстремум в точке может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Пример 2.1. Найти экстремум функции .
Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка:
.
Чтобы найти стационарные (критические) точки, составляем и решаем систему уравнений:
Û или .
Таким образом, получаем две стационарные точки и .
2) Находим частные производные второго порядка:
.
3) Исследуем характер каждой стационарной точки.
а) В точке имеем
Тогда
.
Так как , то в точке функция имеет локальный максимум.
.
б) В точке имеем
.
Тогда . Проведем дополнительное исследование. Значение функции в точке равно нулю, т.е. . Можно заметить, что при ; при . Значит, в окрестности точки функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке функция экстремума не имеет.
,