Тема 9.3 ПОИСК АЛЬТЕРНАТИВЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ

Третий способ многокритериального выбора относится к случаю, когда заранее могут быть указаны значения частных критериев (или их границы), и задача состоит в том, чтобы найти альтернативу, удовлетворяющую этим требованиям, либо, установив, что такая альтернатива во множестве Х отсутствует, найти в X альтернативу, которая подходит к поставленным целям ближе всего. Характеристики решения такой задачи (сложность процесса вычислений, скорость сходимости, конечная точность и пр.) зависят от многих факторов. Снова оставив в стороне вычислительные и количественные аспекты (что является далеко не простой и в ряде случаев нерешенной задачей), обсудим некоторые принципиальные моменты данного подхода.

Удобным свойством является возможность задавать желательные значения !qi, критериев как точно, так и в виде верхних или нижних границ; назначаемые значения величин !qiиногда называют уровнями притязаний, а точку их пересечения в р-мерном пространстве критериев - целью или опорной точкой, идеальной точкой. Поскольку уровни притязаний задаются без точного знания структуры множества Х в пространстве частных критериев, целевая точка может оказаться как внутри, так и вне Х (достижимая или недостижимая цель; рис. 9.1, в приведены оба варианта, соответственно х1* и х2*).

Теперь идея оптимизации состоит в том, чтобы, начав с любой альтернативы, приближаться к x* по некоторой траектории в пространстве X. Это достигается введением числовой меры близости между очередной альтернативой х и целью x*, т.е. между векторами q (x) = (q1(x),..., qp(x)) и !q = (!q1, ..., !qp). Можно по-разному количественно описать эту близость. Например, использовав расстояния типа

либо расстояния типа

где считается, что qi>= !qi, ai- коэффициенты, приводящие слагаемые к одинаковой размерности и одновременно учитывающие разноважность критериев, аp+1выражает наше отношение к тому, что важнее - уменьшать близость к цели любого из частных критериев или суммарную близость всех критериев к целевым значениям. Если часть уровней притязания ограничивают критерии снизу (qi>= !qi, i = 1,..., р'), часть ограничивают их сверху (qi<= !qi, i = р'+ 1, ..., р"), а остальные задают их жестко (qi= !qi, i = р"+ 1,..., р), то функцию S(q, !q) модифицируют:

где

Конечно, возможны и другие меры близости, но для функций d(q, !q) и S(q, !q) проведены подробные исследования их математических свойств, что важно для обеспечения сходимости процесса минимизации этих функций, в ходе которого обеспечивается приближение к x*.