Тема 9.2 КРИТЕРИАЛЬНЫЙ ЯЗЫК ОПИСАНИЯ ВЫБОРА

На примере описания выбора видно, как об одном и том же явлении можно говорить на языках различной общности. К настоящему моменту сложилось три основных языка описания выбора. Самым простым, наиболее развитым (и, быть может, поэтому чаще употребляемым в положениях) является критериальный язык. Это название связано с основным предположением, состоящим в том, что каждую отдельно взятую альтернативу можно оценить конкретным числом (значением критерия), и сравнение альтернатив сводится к сравнению соответствующих им чисел.

Пусть х — некоторая альтернатива из множества X. Считается, что для всех х  X может быть задана функция q (x), которая называется критерием (критерием качества, целевой функцией, функцией предпочтения, функцией полезности и т.д.) и обладает тем свойством, что если альтернатива x1предпочтительней альтернативы х2 (будем обозначать это x1> x2), то q (x1) >q (x2) и обратно.

Если теперь сделать еще одно важное предположение, что выбор любой альтернативы приводит к однозначно известным последствиям (т.е. считать, что выбор осуществляется в условиях определенности) и заданный критерий q (x) численно выражает оценку этих последствий, то наилучшей альтернативой X, является, естественно, та, которая обладает наибольшим значением критерия:

Задача отыскания х*, простая по постановке, часто оказывается сложной для решения, поскольку метод ее решения (да и сама возможность решения) определяется как характером множества Х (размерностью вектора и типом множества Х — является ли оно конечным, счетным или континуальным), так и характером критерия (является ли q (x) функцией или функционалом и какой или каким именно).

Однако сложность отыскания наилучшей альтернативы существенно возрастает, так как на практике оценивание любого варианта единственным числом обычно оказывается неприемлемым упрощением (см. тема "Модель "черного ящика"). Более полное рассмотрение альтернатив приводит к необходимости оценивать их не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между собой. Например, при выборе конструкции самолета проектировщикам следует учитывать множество критериев: технических (высотность, скорость, маневренность, грузоподъемность, длительность полета и т.д.), технологических (связанных с будущим процессом серийного изготовления самолетов), экономических (определяющих затраты на производство, эксплуатацию и обслуживание машин, их конкурентоспособность), социальных (в частности, уровень шума, загрязнение атмосферы), эргономических (условия работы экипажа, уровень комфорта для пассажиров) и пр. Даже в обыденной жизни при выборе мы почти никогда не используем единственный критерий: вспомните хотя бы затруднения при выборе подарка ко дню рождения или при выборе места для стоянки в тур-походе.

Итак, пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев qi(x), i = 1, ..., р. Теоретически можно представить себе случай, когда во множестве Х окажется одна альтернатива, обладающая наибольшими значениями всех р критериев; она и является наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как же тогда осуществлять выбор (так, например, на рис. 9.1 множеству Х соответствуют внутренние точки фигуры на плоскости значений двух критериев q1 и q2; оба критерия желательно максимизировать).

Рисунок 9.1. Иллюстрация методов решения многокритериальных задач:

а) оптимизация по одному "суперкритерию", являющемуся линейной комбинацией частных критериев;

б) метод уступок; в) задание уровней притязания;

г) нахождение паретовского множества альтернатив

СВЕДЕНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ К ОДНОКРИТЕРИАЛЬНОЙ

Рассмотрим наиболее употребительные способы решения многокритериальных задач. Первый способ состоит в том, чтобы многокритериальную задачу свести к однокритериальной. Это означает введение суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента:

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине q0, выделив тем самым наилучшую (в смысле этого критерия). Вид функции q0определяется тем, как мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий; обычно используют аддитивные или мультипликативные функции:

Коэффициенты siобеспечивают, во-первых, безразмерность числа qi/si(частные критерии могут иметь разную размерность, и тогда некоторые арифметические операции над ними, например сложение, не имеют смысла) и, во-вторых, в необходимых случаях (как в вышеприведенной формуле) выполнение условия iqi/si<= 1. Коэффициенты iи i, отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий.

Итак, при данном способе задача сводится к максимизации суперкритерия:

Очевидные достоинства объединения нескольких критериев в один суперкритерий сопровождаются рядом трудностей и недостатков, которые необходимо учитывать при использовании этого метода. Оставив в стороне трудности построения самой функции и вычислительные трудности ее максимизации, обратим внимание на следующий очень важный момент. Упорядочение точек в многомерном пространстве в принципе не может быть однозначным и полностью определяется видом упорядочивающей функции. Суперкритерий играет роль этой упорядочивающей функции, и его даже "небольшое" изменение может привести к тому, что оптимальная в новом смысле альтернатива окажется очень сильно отличающейся от старой. На рис. 9.1, а видно, как изменяется выбор наилучшей альтернативы при простой смене коэффициентов в линейной упорядочивающей функции, что отражается в изменении наклона соответствующей прямой: q01(x1*) > q01(x2*), но q02(x1*) < q02(x2*). Заметим, что линейные комбинации частных критериев придают упорядочению следующий смысл: "чем дальше от нуля в заданном направлении, тем лучше". На рис. 9.1, а направления, соответствующие суперкритериям q01и q02, изображены стрелками. Идея такого упорядочивания в многомерном пространстве заложена в некоторых балльных системах оценки вариантов. Другой вариант поиска альтернативы, самой удаленной от нуля в заданном направлении, дает максимизация минимального критерия:

что означает поиск вокруг направления iqi/si= const методом "под-тягивания самого отстающего".

Недостатки свертывания нескольких критериев заставляют искать другие подходы к решению задач многокритериального выбора. Рассмотрим теперь второй способ решения таких задач. Он заключается в ином, нежели при свертывании, использовании того факта, что частные критерии обычно неравнозначны между собой (одни из них более важны, чем другие). Наиболее явное выражение этой идеи состоит в выделении основного, главного критерия и рассмотрении остальных как дополнительных, сопутствующих. Такое различие критериев позволяет сформулировать задачу выбора как задачу нахождения условного экстремума основного критерия:

при условии, что дополнительные критерии остаются на заданных им уровнях. На рис. 9.1, б приведено решение задачи

В некоторых задачах оказывается возможным или даже необходимым задавать ограничения на сопутствующие критерии не столь жестко, как в вышеприведенной задаче. Например, если сопутствующий критерий характеризует стоимость затрат, то вместо фиксации затрат разумнее задавать их верхний уровень, т.е. формулировать задачу с ограничениями типа равенств:

На рис. 1, б приведено решение задачи x2* = arg {max q2|q1<= C1}. Oтметим, что такое, казалось бы, незначительное изменение постановки задачи требует принципиально иных методов ее решения. Мы пока не будем касаться этой стороны вопроса и рассмотрим лишь различия постановках задач выбора.

В рамках того же подхода ("ограничения на критерии", "разноважные критерии") возможны и другие варианты. В предыдущих двух вариантах различие между основным и дополнительными критериями выглядит слишком сильным. Иную постановку задачи дает метод уступок.

Пусть частные критерии упорядочены в порядке убывания их важности. Возьмем первый из них и найдем наилучшую по этому критерию альтернативу (на рис. 9.1, б это x2*, если самым важным критерием является q2, и x4*, если им является q2). Затем определим "уступку" qi, т.е. величину, на которую мы согласны уменьшить достигнутое значение самого важного критерия, чтобы за счет уступки попытаться увеличить, насколько возможно, значение следующего по важности критерия, и т.д. (на рис. 9.1, б полученные таким образом альтернативы изображены точками х3* и х5*).