Т – критерій Вілкоксона
Аналогічно критерію знаків, критерій Т Вілкоксона використовується для зіставлення показників, виміряних в двох різних умовах на одній і тій же вибірці досліджуваних. Він дозволяє встановити не тільки спрямованість змін, але і їх вираженість, тобто визначає, чи є зрушення показників в якомусь одному напрямку більш інтенсивним, ніж в іншому. Критерій може бути використаний, якщо досліджувана ознака виміряна в шкалі порядку або шкалі інтервалів. Обсяг вибірки – від 5 до 50 осіб. Нульові зсуви з розгляду виключаються та кількість спостережень n зменшується на кількість цих нульових зсувів.
Пояснити алгоритм розрахунку можна на наступному прикладі. Припустимо, в кабіні літака (і на тренажері) змінили ергономічне середовище. Для виконання певного завдання льотчик раніше витрачав одну кількість секунд, а в новому середовищі він на виконання тих же дій витрачає іншу кількість часу. Таким чином, були зроблені виміри у 10 льотчиків. Визначити достовірність переважання зсуву значень в напрямку однієї зі сторін за умови, що результати другого зрізу обумовлені винятково зміною ергономічного середовища.
Формулюються статистичні гіпотези.
Н0: переважання зсувів між початковими і кінцевими показниками в одному з напрямків недостовірні (значуще не відрізняються від нуля).
Н1: переважання зсувів між початковими і кінцевими показниками в одному з напрямків достовірні (значимо відрізняються від нуля).
Визначаються величини зсувів між початковими і кінцевими показниками, потім вони переводяться в абсолютні значення і ранжуються за принципом «меншому значенню – менший ранг». Потім виділяються нетипові (чия спрямованість відрізняється від більшості) ранги і підраховується їх сума. Слід звернути увагу: у нашому прикладі одне із значень d дорівнює 0. Тому при ранжуванні різниць ми присвоюємо йому нульовий ранг.
| n | Початкові показники | Підсумкові показники | Різниця показників (d) | Абсолютне значення | Ранг різниці |
| –1 | |||||
| +5 | 4,5 | ||||
| –6 | 6,5 | ||||
| +6 | 6,5 | ||||
| –4 | 2,5 | ||||
| –4 | 2,5 | ||||
| –8 | |||||
| –9 | |||||
| +5 | 4,5 | ||||
У таблиці нетипові ранги виділені жирним шрифтом. Сума нетипових рангів дорівнює емпіричному значенню.
T=ƩRr
Де Rr – рангові значення зсувів з більш рідкісним знаком.
Темп = 4,5 + 6,5 + 4,5 = 15,5
За таблицею визначаємо значення Т для n=9
Ткр = 8 (р≤0,05)
3 (р≤0,01)
Для Т-критерію Вілкоксона, що представляє собою виключення із загального правила, принцип прийняття-відхилення нульової гіпотези є наступним: Темп < Ткр => Н1! Слід додатково додати, що цей критерій може бути одностороннім (якщо напрямок зсувів передбачується) і двостороннім (якщо ми не передбачаємо напрямок зсувів). Рівні значущості для одностороннього та двостороннього критеріїв різні. У нашому випадку ми маємо справу з двостороннім критерієм, бо попередньо не пророкували напрямок відмінностей.
Темп > Ткр (р < 0,05) => Н0! Ми можемо констатувати, що достовірність переважання зсувів ні в одному з напрямків не встановлена. Можливо, що ми могли б спростувати нульову гіпотезу, якби збільшили кількість спостережень.
Критерій χr2 Фрідмана
Критерій χr2 Фрідмана застосовується для співставлення показників, виміряних в трьох або більше умовах на одній і тій же вибірці досліджуваних.
Критерій дозволяє встановити, що величини показників від умови до умови змінюються, але при цьому не вказується напрямок змін.
Даний критерій є поширенням критерію Т Вілкоксона на більшу, ніж 2, кількість умов вимірів. Однак ми ранжуємо не абсолютні величини зсувів, а самі індивідуальні значення, отримані даним досліджуваним в 1,2,3 та наступним вимірах.
Після того, як всі значення будуть проранжовані, підраховуються суми рангів за стовбцями для кожного з проведених вимірів. Якщо відмінності між значеннями ознаки, які отримані в різних умовах, випадкові, то суми рангів за різними умовами будуть приблизно рівні. Але якщо значення ознаки змінюються в різних умовах якимсь закономірним чином, то в одних умовах будуть переважати високі ранги, а в інших – низькі. Суми рангів будуть достовірно відрізнятися між собою. Емпіричне значення критерію χr2 і вказує на те, наскільки відрізняються суми рангів. Чим більше емпіричне значення χr2, тим більш суттєві відмінності суми рангів воно відображає.
Якщо χr2 дорівнює критичному значенню або перебільшує його, відмінності статистично достовірні.
Графіки змін часу вирішення трьох анаграм у п’яти досліджуваних.
Графіки змін ранжованих показників часу вирішення анаграм.
Обмеження критерію:
1. Нижній порог: не менше 2-х досліджуваних (n≥2), кожний з яких пройшов не менше 3-х вимірів (с≥3).
2. При с=3, n≤9, рівень значимості отриманого емпіричного значення χr2 визначається за таблицею χr2 Фрідмана (Табл.VII-А); при с=4, n≤4, рівень значимості отриманого емпіричного значення χr2 визначається за таблицею (Табл. VII-Б); при більших кількостях досліджених або умов отримані емпіричні значення χr2 зіставляються з критичними значеннями χ2, які визначаються за таблицею (Табл. ІХ). це пояснюється тим, що χr2 має розподіл, схожий з розподілом χ2. Число ступенів свободи df визначається за формулою:
df = c – 1
де с – кількість умов вимірів
Приклад: в експерименті з дослідження інтелектуальної наполегливості досліджувані вирішували анаграми, які ускладнювались і вимагали більшого часу на розв’язання. Чи достовірні відмінності у часі вирішення досліджуваними анаграм?
Н0: відмінності в часі, який досліджувані проводять над вирішенням трьох різних анаграм, є випадкові.
Н1:відмінності в часі, який досліджувані проводять над вирішенням трьох різних анаграм, не є випадковими.
| Код імені досліджуваного | Анаграма 1: КРУА (РУКА) | Анаграма 2: АЛСТЬ (СТАЛЬ) | Анаграма 3: ИНААМШ (МАШИНА) | |||
| 1. Л-в | ||||||
| 2. П-о | ||||||
| 3. К-в | ||||||
| 4. Ю-ч | ||||||
| 5. Р-о | ||||||
| Суми | ||||||
| Середні | 10,2 | 248,8 | 9,4 |
Загальна сума рангів R=6+15+9=30
Розрахункова формула рангів:
Де n – кількість досліджуваних;
с – кількість умов вимірів.
Визначаємо емпіричне значення χr2 за формулою:
Де с – кількість умов;
n – кількість досліджуваних;
Ti – суми рангів за кожною умовою.
Визначаємоχr2 для даного випадку:
Оскільки в даному прикладі розглядаються три завдання, тобто 3 умови, с=3. Кількість досліджуваних n=5. Це дозволяє нам скористатися спеціальною таблицею χr2 (Табл. VII-A)
Емпіричне значення χr2=8,4 при с=3, n=5 точно відповідає рівню значимості р=0,0085.
Висновок: Н0 відхиляється. Відмінності в часі, який досліджувані проводять над вирішенням трьох різних анаграм, невипадкові (р=0,0085).