Определенный интеграл

Примеры 2.8.

2.56. Найти интегралы, применяя интегрирование по частям:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

13) 14) 15)

2.57. Найти интегралы:

1) 2) 3) ; 4) ;

5) 6) ; 7) 8) dx;

9) 10) ; 11) 12)

13) 14) 15)

Определение. Определенным интегралом от функции f(х) называется предел интегральной суммы:

При этом функция f(х) называется подынтегральной функцией, а и b – нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.

Укажем свойства определенного интеграла, которые будут необходимы при решении задач:

1.

2.

3.

4.

Геометрический смысл определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = f(х), равна

2.6.1. Правила вычисления определенного интеграла

1. Формула Ньютона–Лейбница:

где F′(x) = f(x).

2. Замена переменной:

где x = – функция, непрерывная вместе с на отрезке – функция, непрерывная на отрезке .

3. Интегрирование по частям:

где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые на [a, b] функции.

4. Если f(x) – нечетная функция, то

5. Если f(x) – четная функция, то