Предел функции.

Геометрический смысл предела

Определение предела имеет следующий геометрический смысл: число является пределом последовательности , если в любой его - окрестности содержатся почти все члены , или вне этой окрестности находится лишь конечное число членов данной последовательности.

Пример 1. Дана последовательность . Предел этой последовательности , т.е. . Действительно, зададим произвольное число и решим неравенство

Этим для всякого найдено число такое, что неравенство выполняется для всех .

Пример 2. Дана последовательность . Предел этой последовательности , т.е. . В самом деле, составим неравенство . Оно, как мы видели, выполняется для любого , если .

Число называется пределом функции в точке , если она определена на некоторой окрестности , т.е. на некотором интервале , где , за исключением, быть может, самой точки , и если для всякого можно указать зависящее от него такое, что для всех , для которых , имеет место неравенство

.

Тот факт, что есть предел в точке , записывают следующим образом

Выражение предел функции в точке часто заменяют выражением предел функции при , стремящемся к , или, короче, предел функции при .

По аналогии вводят следующее определение.

Число есть предел функции при , стремящемся к бесконечности, если определена для всех , удовлетворяющих неравенству при некотором , и для любого можно найти число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству .

Многие свойства пределов при , где - конечное число, и при являются аналогичными. Для этого под буквой либо число (конечное), либо символ . Если есть число, то под окрестностью точки понимается любой интервал , содержащий в себе точку . Таким образом, окрестность (конечной) точки есть множество всех точек , удовлетворяющих неравенствам . Если же (или или ), то под окрестностью условимся понимать множество всех , удовлетворяющих неравенству

Произвольную окрестность точки обозначают символом .