Тема. Опуклість та гнучкість функції. Дослідження функції на опуклість та точку перетину

 

План

  1. Поняття другої похідної.
  2. Поняття опуклості і точок перетину диференційованої на інтервалі (a; b) функції.
  3. Властивість графіків опуклих функцій.
  4. Достатні умови опуклості функції, що має другу похідну на заданому інтервалі (a; b).
  5. Знаходження точок перегину функції, що має другу похідну на заданому інтервалі.
  6. Дослідження функції на опуклість і точки перегину.
1. Поняття другої похідної
Поняття Запис Приклад
Нехай функція у = f(х) має похідну f ´(х) в усіх точках деякого проміжку. Ця похідна, у свою чергу, є функцією аргументу х. Якщо функція f ´(х) є диференційованою, то її похідну називають другою похідною від f(х) і позначають (або ) у = f(х) , , . у = х5 5х4
2. Поняття опуклості і точок перетину диференційованої на інтервалі (a; b) функції
 
 
 

 

 Функція f(х) називається опуклою вниз на інтервалі(a; b), якщо для будь - якої точки х0 із цього інтервалу при всіх х (a; b) і графік функції лежить вище дотичної до цього графіка в точці ().
 
 
 

 

 Функція f(х) називається опуклою вгору на інтервалі(a; b), якщо для будь - якої точки х0 із цього інтервалу при всіх х (a; b) і графік функції лежить нижче дотичної до цього графіка в точці ().
    Точка М графіка неперервної функції f(х), у якій існує дотична і при переході через яку крива змінює напрям опуклості, називається точкою перегину графіка функції. У точці перегину графік функції переходить з одного боку дотичної до іншого. Абсцису х0 точки М перегину графіка функції f(х) називають точкою перегину функції f(х) . Точка х0 розділяє інтервали опуклості функції.

 

3. Властивість графіків опуклих функцій
    Якщо функція f(х) опукла вниз на інтервалі (a; b) і М1 та М2 - точки її графіка на цьому інтервалі, то на інтервалі (х1;х2) графік функції у = f(х) лежить нижче відрізка М1М2, тобто графік лежить нижче хорди.
    Якщо функція f(х) опукла вгору на інтервалі (a; b) і М1 та М2 - точки її графіка на цьому інтервалі, то на інтервалі (х1;х2) графік функції у = f(х) лежить вище відрізка М1М2, тобто графік лежить вище хорди.
4. Достатні умови опуклості функції, що має другу похідну на заданому інтервалі (a; b)
Умова опуклості вниз Умова опуклості вгору
Якщо на інтервалі (a; b) двічі диференційована функція f(х) має додатну другу похідну (тобто при всіх х (a; b)), то її графік на інтервалі (a; b) спрямований опуклістю вниз. Якщо на інтервалі (a; b) двічі диференційована функція f(х) має від’ємну другу похідну (тобто при всіх х (a; b)), то її графік на інтервалі (a; b) спрямований опуклістю вгору.
5. Знаходження точок перегину функції, що має другу похідну на заданому інтервалі
Необхідна умова Достатня умова
У точках перегину функції f(х) її друга похідна дорівнює нулю або не існує.    
 
 

 

 

 Нехай функція f(х) має на інтервалі (a; b) другу похідну. Тоді, якщо змінює знак при переході через х0, де х0 (a; b), то х0 - точка перегину функції f(х).
     

 

6. Дослідження функції на опуклість і точки перегину
Схема Приклад
1. Знайти область визначення функції. Дослідіть функцію f(х) = х4 – 4х3 – 18х2 + 1 на опуклість і точки перегину.
  1. Область визначення: D(f) = R.
Функція f(х)неперервна в кожній точці своєї області визначення (як многочлен).
2. Знайти другу похідну.   2.  
3. Знайти внутрішні точки області визначення, у яких друга похідна дорівнює нулю або не існує 3. існує і неперервна на всій області визначення функції f(х). 12(х2 – 2х - 3) = 0; х1 = - 1; х2 = 3
4. Позначити одержані точки на області визначення функції, знайти знак другої похідної і характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення.    
5. Записати потрібний результат дослідження (інтервали і характер опуклості і точки перегину). На інтервалах і графік функції спрямовано опуклістю вниз (), а на інтервалі - опуклістю вгору (). Точки перегину: х = -1 і х = 3 (у цих точках змінює знак).