Тема. Похідна показникової та логарифмічної функцій

Вправи

 

  1. Задайте формулами елементарні функції f(x) і u(x), з яких складається складна функція

1) у = ;

 

2) у = (2х + х2)5;

 

 

3) у = ;

 

4) у = соs(2х - ).

 

 

  1. Знайдіть похідну функції f(x):

1) f(x) = (х2 + х)3;

 

2) f(x) = (2х - 1)-5;

 

3) f(x) = (х - )4;

 

4) f(x) = ;

 

5) f(x) = ;

 

6) у = ;

 

7) у = (х2 - 2х)3;

 

8) s = (t2 – t + 1)4;

 

9) f(u) = 5(3u2 + 4 – u)4;

 

10) s = ;

 

11) у = ;

 

12) f(x) = ;

 

13) f(x) = 2;

 

14) у = ;

 

15) у = ;

 

16) f(t) = t2;

 

17) f(t) = (t - 1);

 

18) f(t) = (t + 1)2;

 

19) f(x) =.

 

План

  1. Похідна показникової функції.
  2. Похідна логарифмічної функції.

1.Похідна показникової функції

1. Число е. У попередніх пунктах графіки показникової функції зображалися у вигляді прямих ліній ( без зламів), до яких у кожній точці можна провести дотичну. Але існування дотичної до графіка функції в точці з абсцисою хо рівносильне її диференційованості в хо. Тому природно припустити, що показникова функція диференційована у всіх точках області визначення.

Намалюємо декілька графіків функції у = ах для а, рівного 2; 2,3; 3; 3,4 (рис. 1), і проведемо до них дотичні в точці з абсцисою 0. Кути нахилу цих дотичних до осі абсцис приблизно рівні 35°, 40°, 48° і 51° відповідно, тобто зі зростанням а кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = ах у точці М (0; 1) поступово збільшується від tg 35° до tg 51°. Представляється очевидним, що, збільшуючи а від 2 до 3, ми знайдемо таке значення а, при яких кутовий коефіцієнт відповідної дотичної рівний 1 ( тобто кут нахилу рівний 45°). Ось точне формулювання цієї пропозиції (ми ухвалюємо без доказу):

Існує таке число, більше 2 і менше 3 (це число позначають буквою е), що показникова функція у = ех у точці 0 має похідну, рівну 1.

Зауваження. Доведено, що число е ірраціональне, тому записується у вигляді нескінченного десяткового неперіодичного дробу. За допомогою електронних обчислювальних машин знайдене більш двох тисяч десяткових знаків числа е. Перші знаки такі: е = 2,718281828459045... .

Функцію ех часто називають експонентою.

 

Формула похідної показникової функції.