Сучасні дані про форму та розміри Землі

Загальна площа поверхні Землі - 510 млн. км². Поверхня океанів займає 71 %, а суші 29 % від усієї поверхні Землі. Середня глибина океанів понад 3800 м, середня висота суші над середнім рівнем води в океанах - близько 875 м. Тому можна вважати, що суша має вигляд невеликого (порівняно із загальною поверхнею Землі) і невисокого плоскогір’я над рівнем океанів порівняно і їхньою глибиною. Оскільки поверхня Світового океану займає майже 3/4 усієї поверхні Землі, її можна прийняти за фігуру Землі, а поверхні суші та дна океанів можна вивчати відносно поверхні Сніговою океану (рис 2.1).

Рис. 2.1. Фізична та рівнева поверхні Землі. Прямовисні лінії завжди перпендикулярні до рівневої поверхні

Поверхню води н океані в спокійному, незбуреному стані (тобто за відсутності збурювальної дії вітру, припливів, відпливів та інших сил), уявно продовжена під материками так, щоб вона перетинала прямовисні лінії під прямим кутом, називають рівневою поверхнею і приймають за загальну фігуру Землі. Цю гуру німецький фізик і математик І.Б. Лістінг у 1873 р. назвав геоїдом землеподібним).

Все вищесказане детальніше пояснимо на основі рис. 2.2. Точковим пунктиром на ньому зображено переріз кулі, форму якої мала б однорідна за густиною і нерухома Земля. Штриховим пунктиром показано рівневий еліпсоїд - форму, яку мала б Земля, яка обертається, якщо б у тілі Землі не було рівномірно розташованих, неоднорідних за густиною мас. Щоб пояснити виникнення фігури геоїда, припустимо, що в земній корі є деяке тіло Т з більшою густиною, ніж решта кори. Надлишок мас у цій ділянці земної кори причинить відхилення прямовисних ліній від нормалей до еліпсоїда, наприклад, у точках а і с, у напрямку надлишкової маси. Тоді переріз поверхні, перпендикулярної до прямовисних ліній F₁, F₂, матиме вигляд кривої maвcn.

Рис. 2.2. До пояснення різниці між геоїдом і еліпсоїдом

Щоб зобразити загальну складну картину перерізу геоїда, враховуючи неоднорідність земної кори, умовно продовжимо суцільну криву ліворуч і праворуч від інтервалу mn. Кути и₁, и₂ між прямовисними лініями F₁, F₂ і N₁, N₂ до еліпсоїда називаються відхиленням прямовисних ліній. В середньому для Землі ці кути дорівнюють 3-4", а в районах з аномально розташованими масами в земній корі (наприклад, в гірських районах) досягають десятків секунд і маніть мінут.

Отже, нерівності в розподілі мас в земній корі деформують еліпсоїдну фігуру Землі. Найбільші відхилення геоїда від еліпсоїда досягають 150 м. Зрозуміло, що фізична поверхня Землі не збігається з еліпсоїдом на значно більші відстані. Частина фізичної поверхні показана на рис. 2.2 у точках L та К .

Отже, геоїд і фізична поверхня Землі - це складні фігури, які не можна описати будь-якими математичними поверхнями. Але поверхня геоїда все ж таки є згладженішою порівняно з фізичною поверхнею Землі. Тому можна замінити поверхню геоїда деякою допоміжною поверхнею, яка найбільш наближена до геоїда.

Найчастіше користуються двома такими поверхнями. У першому наближенні рівневу поверхню Землі можна прийняти за сферу певного радіуса R (рис. 2.2). У топографії та картографії найчастіше користуються саме сферою. Але найближчою до геоїда є математична поверхня еліпсоїда обертання. Це, як вже зазна­чалось, поверхня, утворена обертанням еліпса РЕ₁Р₁Е навколо малої осі РР₁. Ця вісь називається полярною.

Розміри еліпсоїда задають двома параметрами - великою піввіссю а та геометричним стисненням α. Можна записати формулу

з якої за відомими параметрами а і α легко знайти малу піввісь еліпсоїда в . Фігури геоїда і фізичної поверхні Землі вивчають за відхиленнями цих форм від математичної фігури еліпсоїда. На рис. 2.2 такими відхиленнями геоїда від еліпсоїда є відрізки аа₁, вв₁, сс₁, а відхиленнями фізичної поверхні Землі від поверхні еліпсоїда - відрізки КК₁ і LL₁. За цими віддалями і параметрами еліпсоїда можна побудувати модель фігури геоїда і реальної Землі.

Загальноземний еліпсоїд — це еліпсоїд обертання, зорієнтований у тілі Землі так, що його центр збігається з центром мас Землі, площина його еквато­ра з площиною екватора Землі, і сума квадратів відхилень від поверхні геоїда є мінімальною. Референц-еліпсоїд - це еліпсоїд, що найкраще описує фігуру Землі для певної території (країни). У різних країнах вчені на основі градусних вимірювань отримали різні розміри референц-еліпсоїдів, які подано у неповній таблиці таких визначень (див. табл. 2.1).

До середини XX століття в Україні використовували еліпсоїд Бесселя. В 1940 р. професори Ф.Н. Красовський та О.О. Ізотов отримали розміри еліпсоїда, які найкраще підходили для території СРСР. Еліпсоїд назвали еліпсоїдом Красовського і офіційно прийняли в СРСР у 1946 р. Еліпсоїд Красовського і дотепер використовується в Україні. Пізніше виявилось, що цей еліпсоїд близький до міжнародного еліпсоїда GRS (Geodetic Reference System), отриманого методами космічної геодезії.

Майже 100 років геодезисти вивчали геоїд та його відхилення від прийнятого еліпсоїда. Видатний геодезист України проф. М.К. Мигаль розробив теорію визначення регуляризованого геоїда без використання нормального гравітаційного поля Землі, зробивши припущення про розподіл мас у тілі Землі, але в 40-х роках XX ст. член-кореспондент АН СРСР М.С. Молоденський довів, що неможливо точно визначити геоїд, не знаючи фактичного розподілу густини мас в тілі Землі, про який ми маємо тільки гіпотетичні уявлення (справді, найглибші свердловини - це тільки подряпини на тілі Землі). М.С. Молоденський запропонував вивчати замість геоїда так званий квазігеоїд (майже геоїд). Важливо, що квазігеоїд можна однозначно визначити за результатами вимірювань на земній поверхні, не знаючи розподілу мас у тілі Землі.

Теорію М.С. Молоденського визнано в багатьох країнах світу, хоча деякі вчені-геодезисти пропонують повернутись до вивчення геоїда, оскільки внутрішня будова Землі цікавить людство.

З появою методів космічної геодезії, таких як лазерна локація Місяця та штучних супутників Землі, а також інтерферометрів з наддовгими базисами, які гарантують точність 1-2 см на віддалях до 5000 км, з’явилась реальна можливість точніше визначити параметри не тільки референц-еліпсоїдів, але й загальноземного еліпсоїда. Ці можливості почали реалізовуватись, коли явилась нова техніка - GPS (Global Positioning System - глобальна система визначення положення точок на земній поверхні), а разом з нею - нова світова геодезична система відліку WGS-84 (Word Geodetic System 84).

GPS працює за таким принципом: спочатку визначають ефемериди спеціальних штучних супутників системи GPS, а за їхньою допомогою наземними GPS -приймачами знаходять просторові координати точок місцевості.

Ефемери́да, в астрономії — таблиця попередньо обчислених небесних координат Сонця, Місяця, планет та інших астрономічних об'єктів у послідовних моментах часу, наприклад, опівночі кожної доби. Зоряні ефемериди — таблиці видимих положень зірок залежно від впливу прецесії, аберації, нутації.

В космічній геодезії розрізняють абсолютні та відносні методи визначення координат, точність визначення координат абсолютним методом становить 3-10 м в плані і понад 10 м по висоті, відносним методом - 2-3 мм у разі визначення приростів координат на відстані 10-15 км. Саме завдяки технології GPS визначено загальноземний еліпсоїд GRS-80 (Geodetic Reference System 1980). Цей еліпсоїд точно зорієнтований для території Європи на основі лазерної локації штучних супутників Землі та інтерферометрів з наддовгими базисами і, згідно з резолюцією спеціальної підкомісії EUREF (European Reference Frame), прийнятий як європейський референц-еліпсоїд під час міжнародною симпозіуму в Берні в 1992 р. Його параметри подано в табл. 2.1.

Таблиця 1.2.1 Найважливіші визначення параметрів референц-еліпсоїдів

2. Величини, що вимірюються у топографії, та їх проектування на площину

Для зображення на папері просторових форм місцевості в топографії користуються методом проекцій. Найчастіше застосовують ортогональну (прямокутну) проекцію, коли лінії проектування перпендикулярні до поверхні або площини, на яку проектують. Найнаближенішою до геоїда математичною поверхнею Землі, як зазначалось, є підібраний і зорієнтований у тілі Землі еліпсоїд, який і буде поверхнею проектування.

Ділянкою місцевості виберемо чотирикутник АВСЕ (рис. 2.3), який є просторовою формою, оскільки його вершини розташовані на різних висотах фізичної поверхні Землі, а кожна з його сторін на земній поверхні в розрізі є деякою непра­вильною кривою, що лежить у прямо­висній площині.

Нехай Q - частина поверхні еліпсоїда, що збігається з рівневою поверхнею. Вершини АВСЕ спроектуємо прямовисними лініями па цю поверхню. Тоді проекції усіх сторін чотирикутника АВСЕ зобразяться на рівневій поверхні Q кривими а'в', в'с', с'е' , е'а'. Поверхня еліпсоїда (геоїда) є складною, тому прямовисні лінії не перетинаються в одній точці. Для спрощення приймемо рівневу поверхню Землі за кулю. Тоді всі прямовисні лінії зійдуться в одній точці - в центрі Землі. Криві а'в', в'с' та інші стануть дугами великого кола, а проекція перетвориться на сферичну. Отже, проекцією просторового чотирикутника АВСЕ стане сферичний чотирикутник а'в'с'е'.

Якщо визначити форму й розміри цього сферичного чотирикутника, а також знайти довжини відрізків Аа', Вв', Сс', Ее', які називаються висотами або альтитудами відповідних точок місцевості, то форму й розміри чотирикутника АВСЕ на фізичній поверхні Землі можна однозначно відтворити.

Чотирикутник а'в'с'е можна зобразити без спотворення на глобусі довільного радіуса, для цього досить зменшити його розміри. Але не можна без спотворень зобразити його на площині.

Оскільки чотирикутник а'в'с'е' не плоский, а сферичний, то він без розривів і складок на площину не проектується. Зрозуміло, що зручніше мати справу не зі сферичними проекціями на глобусах, а з плоскими - на папері.

Спроектуємо чотирикутник а'в'с'е' на горизонтальну площину Р перпендикулярами до цієї площини й отримаємо плоский чотирикутник авсе. Така проекція називається горизонтальною, або ортогональною, проекцією. Перпендикуляри а'а, в'в та інші - взаємно паралельні і не збігаються з прямовисними лініями. Проекція на площині не буде подібною до сферичної юверхні. Дуги а'в', в'с',... не дорівнюють прямим відрізкам ab, Ьс, .... Сферичні кути а', β' не дорівнюють плоским кутам а, β ,....

Безперечно, під час проектування спочатку на сферу, а потім на площину виникають запитання:

- в яких межах рівневу поверхню (поверхню еліпсоїда) можна замінити сферичною?

- які розміри сферичної поверхні Землі можна замінити площиною за умови, що спотворення довжин, кутів, площ будуть настільки малими, що їх можна не враховувати?

Зрозуміло, що спотворення залежатимуть від розмірів ділянки: чим менша ділянка Землі, тим менші будуть спотворення довжин ліній, кутів та площ.

Нехай розміри такої ділянки вже встановлено. Поміркуємо, які вимірювання необхідно виконати на фізичній поверхні Землі, щоб з просторового чотирикутника АВСЕ отримати горизонтальну проекцію авсе.

Звернемо увагу па те, що кути а, β, у,... на горизонтальній площині не завжди дорівнюють відповідним кутам ВАЕ, СВА, ЕСВ, ... на фізичній поверхні. Наприклад, ∟BAE більший за ∟α, a ∟CBA менший за ∟β . Кути а, β, у,.. це горизонтальні проекції кутів ВАЕ, СВА, ЕСВ,... відповідно. Так, по-перше вимірюють горизонтальні проекції кутів. Такі проекції називають горизонтальними кутами і вимірюють за допомогою спеціального приладу теодоліта. По-друге, вимірюють віддалі АВ, ВС, СЕ, ... на місцевості і обчислюють їхні горизонтальні проекції ab, вс, се, ... . Віддалі в наш час вимірюють віддалемірами.

Нехай маємо на місцевості похилу лінію АЕ = D. Прокреслимо через точку А лінію, паралельну до лінії ае, аж до перетину з прямовисною лінією Ее' в точці Е'. Отримаємо прямокутний трикутник АЕ'Е, в якому ∟EAE' = v і є кутом нахилу лінії АЕ до горизонтальної площини Р. З цього трикутника маємо

але АЕ'=ае, тому

Аналогічно знаходять горизонтальні проекції інших ліній. Зрозуміло, що потрібно також вимірювати їхні кути нахилу ν. Зауважимо, що проекції відрізків прямих на площину менші від самих відрізків. І лише коли кути v =0, тобто кили лінії паралельні до площини проектування Р, проекції відрізків дорівнюють, самим відрізкам.

Отже, щоб отримати горизонтальну проекцію ділянки місцевості, необхідно виміряти горизонтальні кути а, β, у, ... нахилені лінії D, та їхні кути нахилу v. Цих даних достатньо, щоб побудувати на папері горизонтальну проекцію ділянки місцевості. Залишається нез’ясованим питання про розміри ділянки поверхні Землі, які можна практично без спотворень замінити їхніми горизонтальними проекціями. Перейдемо до розв’язання цього питання.

3. Ділянки на поверхні Землі, які приймають за плоскі

Якщо би вимірювання на місцевості і викреслювання на папері виконувались абсолютно точно, безпомилково, то ніяку ділянку рівневої поверхні Землі не можна було б вважати площиною. Насправді вимірювання в полі і опрацювання в камеральних умовах неминуче виконуються з похибками. Тому невелику частину земної поверхні, що відрізняється від площини, менші від похибок вимірювання і викреслювання, можна вважати площиною. Таке припущення надзвичайно полегшує завдання топографії. Згадаємо, що для переходу від рівневої поверхні, точніше, від математичної поверхні еліпсоїда до площини, спочатку переходять до кулі, а тільки потім - до площини.

У сферичній геодезії виведено формулу, за якою можна обчислити спотворення довжин ΔS у разі переходу з еліпса на кулю, радіус якої дорівнює середньому радіусу Землі. Формула для максимального відносного спотворення має вигляд

Підставивши в (1.1.8) числові значення величин, отримаємо S = 285,5 км. Отже, в межах ділянки радіусом майже 300 км спотвореннями довжин через перехід від еліпсоїда до сфери можна знехтувати.

Визначимо тепер похибки в горизонтальних віддалях, які виникають через те, що невелику ділянку кулястої поверхні Землі прийнято за площину.

Нехай маємо (рис. 1.1.) дугу великого кола ОА на рівневій (кулястій) поверхні, описану середнім радіусом Землі R, яка дорівнює S, тобто ОА = S. Повернемо цю дугу навколо центра О на кут а. Отримаємо таку саму дугу S, тобто u ОВ = S. Точка А опише и АВ малого кола. Позначимо цю дугу σ.

Припустимо, що дуги S вимірювали мірною стрічкою, довжина якої l = 20 м.

Оскільки величина l є значно меншою за R, тобто l«R, то окремі укладання стрічки збігаються з дугою, тобто фактично вимірювали дуги S.

Відкладемо довжини дуг S на площині Р від точки О' — проекції точки А¹ Годі довжини дуг S будуть без спотворення спроектовані на площину.

Рис. 1.1.12. До проектування кулястої поверхні на площину

Але, навіть якщо на площині Р кут в т. О¹ між прямими лініями S дорівнюють куту а на кулі, то дуги σ = σ¹.

Отже, за такого проектування кулі на площині спотворюються тільки дуги малих кіл. Проте в наш час лінії вимірюють переважно електронними тахеометрами. Навіть на рівнинній поверхні виміряні лінії не збігатимуться з дугами S, а будуть, фактично, дотичними до рівневої (кулястої) поверхні. Спроектуємо дугу S і ОА на площину. Для цього продовжимо радіус CA = R до перетину її в точці X з дотичною до кулі в точці О. Тоді ОХ буде проекцією OA = S на площину. Під час такого проектування ОХ ≠ S, до того ж OX>S.

Найбільший масштаб топографічного знімання, що виконується в Україні - 1:500. Його точність ΔS, як відомо, дорівнює 0,05 м. Знайдемо S за формулою (1.1.18), знаючи відомий середній радіус Землі R = 6371,11 км. Отримаємо S=18,26 км. Відповідь: сторона квадрата ділянки, вписаної в коло радіусом S, дорівнює 25,82 км.

Такі ділянки вважатимемо плоскими, оскільки їх зображення на площині ідентичні зображенню на кулі.

Не важко довести, що за першим методом проектування спотворення дуги буде

Порівняємо формули (1.1.17) та (1.1.19) Отже, якщо дуги рівні, тобто = S, тоді за першим методом проектування спотворення буде вдвічі меншим, ділянку, що приймається за площину, можна відповідно подвоїти.