Формула Коши

Формула Коши-Грина и ее обобщение в случае единичного круга.

Лекция 3

Теорема. Пусть D — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция f(z) — голоморфна в и — точка внутри области D. Тогда справедлива следующая формула Коши:

Док-во

. Г

Рассмотрим окружность S_ρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z₀. В области, ограниченной контурами Γ и S_ρ подынтегральная функция не имеет особенностей и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что не зависимо от ρ имеем равенство:

Для расчёта интегралов по S_ρ применим параметризацию., φ Є
Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая f(z) = 1:

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

=

Так как функция f(z) комплексно дифференцируема в точке z₀, то:

Интеграл от равен нулю:

Интеграл от члена o(1) может быть сделан сколь угодно мал при . Но поскольку он от ρ вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что