III. Система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим метод исключения. Дана система линейных дифференциальных уравнений:

. (1)

Исключим у из данных уравнений. Дифференцируем по t первое уравнение системы (1), при этом получим . Подставив в это равенство у^/ из второго уравнения системы, будем иметь

. (2)

Переписав первое уравнение системы в виде

(3)

и подставив это выражение в (2), получим уравнение

,

которое является ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Решая его, найдем функцию . Вторую функцию у системы (1) можно определить по формуле (3).

Схема решения:

Пример 1. Найти общее решение системы (методом исключения)

.

Решение. Дифференцируя первое уравнение системы, будем иметь

Подставив сюда х^/ из второго уравнения системы, получим

.

Подставим х из первого уравнения, тогда

.

Приведем в последнем равенстве подобные члены:

.

Получим ЛОДУ второго порядка. Его характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня: . Следовательно, решением этого дифференциального уравнения будет:

, тогда .

Находим вторую функцию. Из первого уравнения имеем:

.

Ответ: .

Пример. Решить систему

.

Решение. Из первого уравнения системы находим

. Тогда . (_*)

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

. (_**)

Получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение: , причем , что легко проверяется подстановкой в (_**). Найдем корни характеристического уравнения: . Следовательно, . Таким образом:

.

Дифференцируя это равенство и подставляя производную в (_**), получим

.

Общее решение системы:

.

Задание №4 для контрольной работы .