Дифференциальное уравнение вида (не содержащее искомой функции у).
II. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.
Го порядка.
Найти общее решение дифференциального уравнения
1а. 
| 1б. 
|
2а. 
| 2б. 
|
3а. 
| 3б. 
|
4а. 
| 4б. 
|
5а. 
| 5б. 
|
6а. 
| 6б. 
|
7а. 
| 7б. 
|
8а. 
| 8б. 
|
9а. 
| 9б. 
|
10а. 
| 10б. 
|
11а. 
| 11б.
|
12а. 
| 12б. 
|
13а. 
| 13б. 
|
14а. 
| 14б. 
|
15а. 
| 15б. 
|
16а. 
| 16б. 
|
17а. 
| 17б. 
|
18а. 
| 18б. 
|
19а. 
| 19б. 
|
20а. 
| 20б. 
|
21а. 
| 21б. 
|
22а. 
| 22б. 
|
23а. 
| 23б. 
|
| 24а.
| 24б. 
|
Рассмотрим два типа дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающие понижение порядка.
Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию 
, т.е. положить 
, следовательно 
. Получим дифференциальное уравнение I-го порядка 
Схема решений:
Получающееся при этом уравнение I-го порядка решаем одним из методов, рассмотренных ранее.
Пример 1.Найти частное решение дифференциального уравнения 
,
удовлетворяющего начальным условиям 
.
Решение. Произведем понижение порядка дифференциального уравнения. Положим 
, тогда 
. Подставив эти значения у/ и у// в данное уравнение, получим уравнение:
,
которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
.
Производим интегрирование 
. Отсюда 
. Но 
, поэтому:
. (2)
Используем начальные условия и найдем постоянную интегрирования С1: т.к. 
при 
, то получаем 
, т.е. С1=3. Тогда:
. (3)
Условие у=1 при х=0 подставим в (3): 1=С2. Таким образом, из начальных условий вытекает, что С1=3, С2=1 и искомое частное решение имеет вид:
.
Замечание. Дифференциальное уравнение вида
приводится к дифференциальному уравнению 
-го порядка с помощью замены 
. Например, пусть дано уравнение 
. Положив 
, понизим порядок на 2. Получим 
- уравнение с разделяющимися переменными (уравнение I-го порядка).
2) Если в уравнение не входит независимое переменное х, т.е. уравнение имеет вид:
,
то порядок можно понизить, взяв за новую независимую переменную у, а за неизвестную функцию 
. Тогда:
.
Схема решения:
При этом получается уравнение I-го порядка относительно неизвестной функции 
и независимой переменной у.
Пример 2.Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение. В уравнение не входит х. Полагаем 
. Тогда
.
После подстановки у/ и у// в исходное уравнение оно принимает вид
или 
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
, 
, 
, 
,
, 
.
Следовательно, 
. Тогда
, 
, 
,
, 
, 
.
(При решении уравнения делили на 
. Если 
, т.е. 
, тогда 
- это одно из решений данного уравнения, не представляющее интереса).
Задание №2 для контрольной работы.