Тема 2. Динамика

Краткая теория

Законы Ньютона: 1-ый закон: , если 2-ой закон: 3-ий закон:     Закон всемирного тяготения:   равнодействующая (результирующая) сила. m – масса тела – вектор ускорения – сила, действующая на первое тело со стороны второго – сила, действующая на второе тело со стороны первого m1, m2 – массы тел r – расстояние между ними F – сила притяжения двух тел G –гравитационная постоянная

 

Сила тяжести: у поверхности Земли: на высоте «» от поверхности Земли: Вес тела: , если тело покоится на горизонтальной поверхности или движется по вертикали равномерно и прямолинейно , если (тело движется с ускорением, направленным вертикально вверх); , если (тело движется с ускорением, направленным вертикально вниз); , если ; (при свободном падении) Сила трения: Закон Гука: – ускорение свободного падения М – масса Земли R – радиус Земли   – вес тела – сила реакции опоры     – сила трения – коэффициент трения Fупр – сила упругости –коэффициент упругости (жёсткость) тела - изменение длины при деформации

 

Физические постоянные:   = 9,81 м/с2

 

Примеры решения задач

39. Скорость материальной точки изменяется по закону Vx= 5+ 1,5t (СИ) под действием силы, проекция которой Fx = 6 Н. Какова масса материальной точки?

 
 


Дано: Решение:

(СИ) 1. Под действием постоянной силы точка движется

= 6Н равноускоренно. Сравнивая её уравнение скорости

с уравнением скорости в общем виде: +, .

2. по второму закону Ньютона , отсюда

 

40. Напишите уравнение скорости движения автомобиля массой 1,5 т, если он, имея скорость 10м/с, начинает ускоряться под действием постоянной силы 750Н.

 

Дано: Решение:

Т.к. движение автомобиля равноускоренное, то его

уравнение скорости в общем виде:+

По второму закону Ньютона , отсюда

и уравнение скорости запишется +0,5

 

 

41. Вес человека в неподвижном лифте равен 700 Н. Когда его измерили в движущемся лифте, он оказался равным 820 Н. Определите ускорение, с которым двигался лифт. Что можно сказать о направлении вектора ускорения?

Дано: Решение:

1. В неподвижном лифте вес человека равен силе тяжести

, отсюда выразим массу тела .

2. Т.к. вес человека в движущемся лифте больше силы

тяжести, то лифт движется с ускорением, направленным

вертикально вверх и вес человека равен

Выразим из этого уравнения ускорение: =

, подставив вместо массы её

выражение, получим =;

=10(1,17-1)=10·0,17=1,7м/с2.

Ответ: ускорение направлено вертикально вверх и равно 1,7м/с2.

42. Вес человека в неподвижном лифте равен 650 Н. Когда его измерили в движущемся лифте, он оказался равным 580 Н. Определите ускорение, с которым двигался лифт. Что можно сказать о направлении вектора ускорения?

Дано: Решение:

1. В неподвижном лифте вес человека равен силе тяжести

, отсюда выразим массу тела .

2. Т.к. вес человека в движущемся лифте меньше силы

тяжести, то лифт движется с ускорением, направленным

вертикально вниз и вес человека равен

Выразим из этого уравнения ускорение: =

, подставив вместо массы её

выражение, получим =;

=10(1-0,89)=10·0,11=1,1м/с2.

Ответ: ускорение направлено вертикально вниз и равно 1,1м/с2.

43. Автомобиль массой 1т проходит по выпуклому мосту радиусом 40 м, имея в верхней точке моста вес 7,5 кН. С какой скоростью движется автомобиль?

 
 


Дано: Решение:

кг Выпуклый мост – это дуга окружности радиуса

В верхней точке моста скорость направлена по

касательной к окружности, а ускорение по радиусу

к центру окружности, т.е. вертикально вниз, и

равно ;

T.к. , то вес автомобиля в этой точке

. Выразим из этого уравнения скорость и рассчитаем её:

Сделаем проверку с помощью размерностей:

===10м/с

Ответ: скорость равна 10м/с.

 

44. Мотоцикл с мотоциклистом общей массой 200 кг трогается с места и под действием силы тяги в 300 Н разгоняется на горизонтальном участке пути длиной 250 м. Коэффициент сопротивления движению 0,05. Сколько времени длится разгон? Какая скорость достигается при этом?

Дано: Решение:

1. Считая движение мотоциклиста равноускоренным,

запишем уравнение перемещения:

, т.к. , то =

Выразим из формулы : ;

Для нахождения нужно знать

2. Чтобы найти ускорение, воспользуемся вторым

законом Ньютона. Сделаем чертёж, на котором

покажем все силы действующие на мотоциклиста:


 
 


- сила тяги; - сила реакции опоры; - сила тяжести,

сила трения,

Второй закон Ньютона:

В проекциях на оси

:

;;

Рассчитаем ускорение: = 1,5-0,5=1м/с2.
Рассчитаем время: =

 

3. Уравнение скорости при равноускоренном движении+

Рассчитаем скорость: +

Ответ: разгон длится 22с, мотоциклист за это время достигает

скорости 22м/с.

 

45. Груз массой 97 кг перемещают равномерно по горизонтальной поверхности с помощью верёвки, образующей угол 30° с горизонтом. Найдите силу натяжения верёвки, если коэффициент трения равен 0,2. Решите эту задачу для случая, когда груз толкают равномерно, прилагая к нему усилия с помощью стержня, наклонённого к горизонтальной поверхности под углом 30°.

Дано: Решение:

m=97кг а) y

α=30˚ →

μ=0,2 V

→ → →

V=соnst N F

F-?(в случаях а,б) → Fy α

Fтр α

Fx

X

 

 

 
 

 


т.к. (1ый закон Ньютона)
на ось OX:
на ось OY:

 

  y → → V N б) → Fтр Fx α α x Fy → → F mg      
на ось OX:
на ось OY:

46. Мальчик массой 50 кг качается на качелях с длиной подвеса 4 м. С какой силой он давит на сиденье при прохождении среднего положения со скоростью 6 м/с?

Дано: Решение:

- сила реакции опоры.

Т.к. мальчик движется по дуге окружности, он имеет центростремительное ускорение, направленное вертикально вверх при прохождении им среднего положения. Это ускорение сообщает равнодействующая двух сил: силы тяжести и силы реакции опоры. По второму закону Ньютона

В проекциях на ось : ;

, где - радиус дуги окружности, т.к. , то;

Таким образом,

Ответ: сила давления на сиденье 950Н

47. Конькобежец движется со скоростью 10 м/с по окружности радиусом 30 м. Под каким углом к горизонту он должен наклониться, чтобы сохранить равновесие?

Дано:     y → N α Ny α x → o a Nx   → mg   Решение: По второму закону Ньютона: на ось OX: на ось OY: Разделим 2ое уравнение на 1ое

48. Груз, подвешенный на нити длиной l = 60 см, двигаясь равномерно, описывает в горизонтальной плоскости окружность. С какой скоростью v движется груз, если во время его движения нить образует с вертикалью постоянный угол ?

Дано: Решение: На груз в точке O действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити y l α → Fупр.у α Fупр. → Fупр.х x R а o   → mg
 
    По второму закону Ньютона: т.к. груз движется по окружности радиуса R – центростремительное ускорение. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на оси и.
на ось OX:
на ось OY:

Ответ:со скоростью 1,3 м/с.

49. Автомобиль массой 4 т движется в гору с ускорением 0,2 м/с2. Найти силу тяги, если уклон равен 0,02 и коэффициент сопротивления 0,04.

 
 


Дано:   Решение: y     → α → l → N Fтяги → Fтр. mgy mgx hα α → mg α x   По второму закону Ньютона:
на ось OX:
на ось OY:

т.к.

50. Найти силу упругости F нити в момент, соответствующий рисунку, если масса груза равна m = 100 г, скорость v = 2 м/с, угол = 60°, длина нити l = 40 см.

Дано: Решение: По второму закону Ньютона

В данной задаче удобно направить ось по радиусу

окружности в указанной точке, тогда в проекциях

 

на ось имеем

 

т.к. , то

Задачи для самостоятельного решения

 

51.На тело массой 5кг действуют силы 9Н и 12Н, направленные соответственно на север и восток. Чему равно и куда направлено ускорение? (3м/с2; 37˚на северо-восток)

52. Мяч массой 0,5 кг после удара, длящегося 0,02 с, приобретает скорость 10 м/с. Найти среднюю силу. (250 Н)

53.На рисунке1 дан график зависимости проекции скорости от времени тела массой 2 кг. Найти проекцию силы (Fx), действующей на тело на каждом этапе движения. (4 Н; 0; -2 Н)

Рис.1

 

54. На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля к ней станет в 100 раз меньше, чем на поверхности Земли? (9 земных радиусов)

55. Каково ускорение свободного падения на высоте, равной половине радиуса Земли? (4,4 м/с)

56.Определить вес мальчика массой 40 кг в положениях А и В (см. рисунок 2), если R1=20 м, v1=10 м/с, R2=10 м, v2=5 м/с. (600 Н; 300 Н)

Рис. 2

57. С какой скоростью автомобиль должен проходить середину выпуклого моста радиусом 40м , чтобы пассажир на мгновение оказался в состоянии невесомости? (20 м/с)

58. Вес человека в неподвижном лифте равен 500 Н. Когда его измерили в движущемся лифте, он оказался равным 540 Н. Определите ускорение, с которым двигался лифт. Что можно сказать о направлении вектора ускорения? (0,8м/с2, вертикально вверх)

59. Вес человека в неподвижном лифте равен 720 Н. Когда его измерили в движущемся лифте, он оказался равным 600 Н. Определите ускорение, с которым двигался лифт. Что можно сказать о направлении вектора ускорения? (1,7м/с2, вертикально вниз)

60.Скорость автомобиля изменяется по закону Vx= 5+ 0,2t (СИ). Найти результирующую силу, действующую на него, если масса автомобиля равна 800 кг (160 Н).

61. Тело массой 30 г начинает движение из состояния покоя под действием постоянной силы. Определите значение силы, если за первые 2 секунды тело прошло путь, равный 50 см. (75 мН)

62. Автомобиль «Жигули» массой 1 т, трогаясь с места, достигает скорости 30 м/с через 20 с. Найти силу тяги, если коэффициент сопротивления равен 0,05. (2 кН)

63. Коэффициент тяги (отношение силы тяги к силе тяжести) автомобиля k=0,11. С каким ускорением движется автомобиль при коэффициенте сопротивления µ=0,06? (0,5 м/с2)

64. Подъёмный кран поднимает груз массой 1 т. Какова сила натяжения троса в начале подъёма, если груз двигается (очень кратковременно) с ускорением 25 м/с2? (35 кН)

65. На наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 3 м находится груз массой 50 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, надо приложить, чтобы удержать этот груз? втаскивать равномерно вверх? втаскивать с ускорением 1 м/с2? Коэффициент трения 0,2. (220 Н; 380Н; 430 Н)