8. Експериментальне визначення гравітаційної сталої. Дослід Кавендиша.

З закону тяжіння гравітаційна стала визначається наступним співвідношенням

/(2.6.8)

Але для цього необхідно знати числові значення всіх величин, які входять в це співвідношення, необхідно їх виміряти. Якщо вимірювання мас тіл та відстаней між ними особливих труднощів не складає, то вимірювання сил притягання – складна експериментальна задача.

У 1798 році англійським фізиком Кавендишем за допомогою крутильних терезів було проведене порівняння сили гравітаційної взаємодії тіл відомої маси з гравітаційною взаємодією цих самих тіл Землею. Цей дослід отримав назву «зважування» Землі або визначення її густини. На час Кавендиша ще не існувало єдиної системи фізичних величин. Лише згодом, на основі результатів дослідів Кавендиша було розраховано гравітаційну сталу, яка дорівнює G=6,67·10^-11(Н·м²)/кг².

9. Гравітаційна взаємодія тіл довільної форми

Формула закону тяжіння Ньютона дає можливість розрахувати силу гравітаційної взаємодії між двома матеріальними точками.

Щоб визначити силу притягання між двома довільними тілами, необхідно розбити ці тіла на такі малі елементи, щоб вважати їх матеріальними точками. Далі визначаємо силу взаємодії між такими окремими елементами, і результуюча сила буде рівною векторній сумі всіх таких елементарних сил.

10. Гравітаційне поле

Напруженість гравітаційного поля –силова характеристика гравітаційного поля, що визначається відношенням сили , що діє на матеріальну точку масою , вміщену у дану точку поля до маси цієї матеріальної точки

. (2.6.9)

10. Вага тіла

Вагою тіла називають силу, з якою тіло унаслідок його тяжіння до Землі діє на горизонтальну опору або на підвіс і вимірюється в одиницях сили (в ньютонах). Розглядаються окремі випадки.

Тіло на горизонтальній опорі (підставці).

Якщо опора в стані спокою або рівномірного прямолінійного руху, то вага тіла або реакція опори дорівнює силі тяжіння

. (2.6.10)

При русі з прискоренням у вертикальному напрямі вгору

. (2.6.11)

При русі вниз

. (2.6.12)

У випадку наступає невагомість.

Динаміка руху тіла по колу.

При русі тіла по колу радіуса існує нормальне (доцентрове) прискорення .

1. Якщо рух тіла по колу відбувається у вертикальній площині, то у верхній точці вага (реакція опори) цього тіла дорівнює

). (2.6.13)

Наприклад, автомобіль у верхній точці випуклого моста. У нижній точці реакція опори становить

. (2.6.14)

2. При русі по колу у горизонтальній площині реакція опори не буде перпендикулярною до цієї площини. Наприклад, велосипедист чи мотоцикліст, рухаючись по колу, відхиляться від вертикального напряму. При цьому реакція опори дорівнює

, (2.6.15)

а кут нахилу до горизонталі визначається співвідношенням

. (2.6.16)

3. На прикладі руху велосипедиста по треку з нахилом було показано, що для заданої швидкості кут «підбирають» так, щоб реакція опори була перпендикулярною до похилої площини, і тоді

. (2.6.17)

Вплив обертання Землі на вагу тіл

1. Тіло, що знаходиться на полюсі Землі не приймає участь в обертовому русі. Отже, вага P₁тіла або реакція опори N₁ на полюсі Землі дорівнює силі тяжіння F

(2.6.18)

Для обертання тіла з кутовою швидкістю по колу радіуса необхідна сила, що забезпечує нормальне (доцентрове) прискорення . При обертання Землі всі тіла, які знаходяться на її поверхні «забирають» для цього частину сили тяжіння F, що зумовлює зменшення ваги тіл.

2. Тіло масою на екваторі. У цьому випадку від сили тяжіння F просто віднімається необхідна сила , і тому вага тіла P₂ або реакція опори N₂ дорівнює:

3. Якщо тіло не на екваторі, а на довільній географічній широті, то обертання відбувається по колу радіуса і для надання тілу масою доцентрового прискорення на даній географічній широті необхідна сила

. (2.6.19)

Як видно з рис. , ця сила буде складовою сили тяжіння, а друга складова визначає вагу тіла або реакцію опори, на якій знаходиться тіло. За теоремою косинусів отримуємо:

. (2.6.20)

У тексті посібника наведені такі приклади. Вага тіла масою 1 кг на полюсі становить 9,81 Н, на екваторі 9,77 Н, а на широті 50⁰ (широта України) 9,79 Н і напрям ваги тіла складає кут з геометричним напрямом до центра Землі.

Штучні супутники Землі.

1. Штучний супутник – тіло, яке технічними засобами виведене на орбіту навколо Землі.

2. Перша космічна швидкість (низькі орбіти) –це швидкість, яку необхідно надати тілу, щоб воно рухалось по круговій орбіті радіусом, рівним радіусу Землі або іншого небесного тіла, і вона для планети масою М та радіуса R обчислюється за формулою

,(2.6.21)

і для Землі вона становить 7,9 км ∕ с.

3. Високі орбіти. Для виведення супутника на кругову орбіту, яка віддалена від поверхні Землі на висоту h необхідна швидкість

. (2.6.21)

На високих орбітах знаходяться практично всі штучні супутники та орбітальні космічні станції. Останнім часом широкого практичного застосування набули супутники на геоцентричних орбітах. На геоцентричній орбіті супутник «висить» нерухомо над поверхнею Землі, так як період його обертання дорівнює періоду обертання Землі.

Гравітаційне поле. Напруженість гравітаційного поля

Питання природи гравітації дуже складне. Згідно загальної теорії відносності Ейнштейна, гравітація зумовлена викривленням простору-часу. Але для математичного опису гравітаційної взаємодії тіл достатньо ввести поняття гравітаційного поля – особливого виду матерії, що здійснює цю взаємодію. Силовою характеристикою гравітаційного поля є напруженість, яка визначається відношенням сили , що діє на матеріальну точку масою , поміщену у дану точку поля, до маси цієї точки. Напруженість гравітаційного поля дорівнює прискоренню вільного падіння у даній точці гравітаційного поля

. (2.6.22)

Таким чином, гравітаційне поле – векторне поле, де кожна його точка характеризується вектором напруженості.

Елементи теорії векторного поля. Теорема Остроградського-Гауса.

Гравітаційне поле – векторне поле, де кожна його точка характеризується вектором напруженості. Математичною мовою гравітаційного поля є відповідний розділ математики під назвою «Елементи теорії векторного поля», який встановлює найбільш загальні властивості такого поля, не розглядаючи природи самого поля. Тому буде доцільним коротко зупинитись на окремих положеннях та теоремах векторного поля.

1. Потік вектора

Якщо в однорідному полі вектора знаходиться контур, орієнтований перпендикулярно до даного вектора, то потік вектора через площу такого контура дорівнює

. (2.6.23)

Якщо ж контур орієнтований не перпендикулярно до ліній поля, то потік через поверхню такого контура буде рівним

, (2.6.24)

де - кут між вектором та перпендикуляром до поверхні або

, (2.6.25)

де

Добуток значення площі контура (лише числове значення) на одиничний вектор перпендикулярний до площі контур

Для графічного зображення векторного поля використовують метод векторних ліній, дотична до яких співпадає з відповідним вектором поля у даній точці.

Однорідне векторне поле – таке поле, у якому у кожній точці відповідний вектор однаковий і векторні лінії є паралельними прямими.

Щоб підрахувати потік вектора неоднорідного векторного поля через довільну поверхню, спочатку вибирають такий малий елемент поверхні , щоб у межах цього елементу поле вважати однорідним, і тоді елементарний потік через таку елементарну поверхню буде становити

(2.6.26)

Весь потік через поверхню знайдеться як інтегральна сума

, (2.6.26)

де інтегрування проводиться по всій поверхні.

Потік вектора (2.3.8.12) через довільну замкнуту поверхню дає нам сумарну (інтегральну) характеристику даного поля – тобто скільки всього з цієї поверхні виходить (або входить) векторних ліній. Якщо «джерело» векторного поля знаходиться всередині довільної замкнутої поверхні і потік вектора через таку поверхню не залежить від форми поверхні, то така поверхня називається Гаусовою. «Потужність» джерела векторного поля характеризує особлива величина, яка навивається дивергенцію вектора даного поля, яка дорівнює гранці, до якої прямує потік вектора через поверхню, що стягується у точку до об’єму стягуваної поверхні

А що там робиться всередині поверхні, яка частина, який її об’єм вносить найбільший вклад у створення векторного поля? Наприклад, глянемо, що робиться у точці Р.