Сили тертя

Задача-тест.

Повне прискорення;

7. Який кут α складає вектор повного прискорення точки з радіусом кола, по якому рухається точка.

1. Ще раз відмітимо, що рівняння обертового та поступального рухів аналогічні – замість залежності шляху S від часу t як функції S=S(t) визначаємо залежність кута φ від часу t φ=φ(t). Тому найпростіша частина задачі – визначити число обертів за вказаний час. Для цього, підставивши спочатку t=4c в рівняння руху, отримаємо, що φ=204 рад. Враховуючи, що φ =2πN і приймаючи наближене значення π =3, отримаємо N =36 обертів.

2,3. Миттєву кутову швидкість та миттєве кутове прискорення визначаються, як відповідні похідні:

.

А тепер доцільно проаналізувати отриманий результат, розкрити фізичний зміст отриманих залежностей. Як бачимо, даний обертовий рух характерний не тільки тим, що змінюється кутова швидкість, а змінюється з часом і кутове прискорення, яке зростає за лінійним законом.

4. Для визначення лінійної швидкості точки, яка приймає участь в обертовому русі, використовуємо відоме співвідношення:

.

5. Значення нормального і тангенціального прискорення легко визначити на основі відомих співвідношень:

.

6. Вектор повного прискорення дорівнює сумі векторів нормального і тангенціального прискорень, а модуль, як було раніше показано, буде становити

.

7. Що стосується кута α між вектором повного прискорення та радіуса кола, по якому з таким прискоренням рухається матеріальна точка, то цей кут, як видно з рис.1.4.6.2,знаходиться з тригонометричного співвідношення:

.

До третього рівня складності можна віднести своєрідну задачу про рух матеріальної точки по спіралі (гвинтовій лінії), де розв’язок такої задачі вимагає бачення у математичних формулах фізичних явищ.

4. У вибраній системі відліку з декартовими координатами кінематичні рівняння матеріальної точки мають наступний вигляд:

де t - час в секундах, а = 2 м; с = 0,5 м/с

Довести, що траєкторія руху точки буде спіраль. Визначити радіус R та крок L спіралі.

Перші два рівняння – це рівняння гармонічних коливань з амплітудою з круговою частотою , а третє рівняння – рівняння рівномірного руху зі швидкістю с = 0,5 м/с.

Для того, щоб отримати рівняння траєкторії точки з кінематичних рівнянь руху, необхідно виключити час. В двох перших рівняннях входять функції синуса та косинуса однакового кута. Тому, використавши відоме тригонометричне співвідношення , будемо мати:

Отже, в площині XOY матеріальна точка буде рухатись по колу радіусом 2 м. Одночасно точка рухається рівномірно вздовж осі, тому результуючою траєкторією буде спіраль (рис.1.6.6.3). Крок такої спіралі визначається як відстань , що пройде точка зі швидкістю с = 0,5 м/с вздовж осі за час , рівний періоду обертання. Так як раніше було відмічено, що кутова частота точки становить , а за означенням , період буде рівним , тому L=0,25м.

6. Для перевірки точності стрільби з гвинтівки для введення у її приціл необхідних поправок, з неї направляють, як вказано на рисунку 1.6.19 лазерний промінь. Гвинтівка знаходиться на географічній широті 50⁰ (широта Києва). Гвинтівку фіксують вздовж земного меридіану і проводять постріл. Виявилось, що на мішені, яка знаходиться на відстані 200 м, куля влучила значно нижче відміченої лазером точки (вертикальне зміщення) і, крім того, куля дещо відхилилась по горизонталі. Визначити ці зміщення, якщо швидкість кулі дорівнює 600 м/с. Опором повітря нехтувати.

Що стосується вертикального зміщення, то воно зумовлене вільним падінням кулі. Дійсно, час руху кулі при її швидкості 600 м/с на відстані 200м становитимеі, беручи прискорення вільного падіння отримаємо

Зміщення по горизонталі зумовлене обертанням Землі, каріолісовим прискоренням , де кутова швидкість обертання Землі. Підрахуємо це значення, враховуючи, що період Т обертання Землі становить 24 години і за цей час Земля робить один оберт, обертаючись на кут :

.

Модуль прискорення каріоліса дорівнює

,

де – кут між векторами кутової та лінійної швидкостями. Лише на полюсі Землі ці вектори складають прямий кут. В будь-якій іншій точці поверхні Землі цей кут дорівнює географічній широті цієї точки. Тому для географічної широти 50⁰ каріолісове прискорення кулі, яка летить зі швидкістю 600 м/свздовж меридіану становитиме

.

При такому прискоренні куля за час польоту завдяки прискоренню каріоліса зміститься на відстань

.

Таким чином, від лазерної точки на мішені куля влучить на 31 см нижче і на 2 мм вправо.

Як бачите, зміщення, завдяки прискоренню каріоліса, на такій відстані незначне. Але при більших відстанях стає досить помітним. Тому є навіть окрема наука під назвою балістика (від грецького – кидати) яка і займається рухом кинутих тіл, в тому числі куль, снарядів, ракет і т.п. Так що точний постріл з гвинтівки – це ціла наука і сучасні спортивні чи снайперські гвинтівки мають спеціальні приціли, які враховують всі параметри, що впливають на рух кулі.

1.7 Контрольні питання з кінематики

Для самоконтролю засвоєного матеріалу пропонується перелік основних питань з даного розділу та невеликий збірник задач. Відповісти на поставлені питання теорії вам допоможе відповідний виклад теоретичного матеріалу, а, керуючись вище наведеними прикладами розв’язування задач, Ви зможете самостійно розв’язати пропоновані задачі.

1. Що вивчає розділ фізики «Кінематика»?

2. Що собою являє система відліку? Наведіть приклади систем відліку.

3. Дайте означення матеріальної точки.

4. В чому полягає векторний та координатний способи опису руху матеріальної точки? Який вигляд мають при цьому кінематичні рівняння руху? Як математично виразити радіус-вектор матеріальної точки через її координати та відповідні орти?

5. В чому полягає природний метод опису руху тіла? Який вигляд має кінематичне рівняння руху точки при такому способі?

6. Що собою являє траєкторія, шлях та переміщення матеріальної точки?

7. Який рух називається рівномірним? Дайте означення швидкості рівномірного руху спочатку як модуля, а потім як вектора.

8. Поясніть, чому модуль миттєвої швидкості нерівномірного руху математично визначається як похідна від шляху по часу і як визначається вектор миттєвої швидкості.

9. Чому вектор швидкості при криволінійному русі матеріальної точки дотичний до траєкторії?

10. Який рух називається рівно змінним? Дайте означення модуля прискорення при такому русі. Які основні рівняння кінематики рівнозмінного руху?

11. Чому прискорення є векторною величиною?

12. Покажіть, що миттєве прискорення змінного руху є похідною від швидкості по часу.

13. Чому при криволінійному русі вводиться поняття нормального і тангенціального прискорень? Який їх фізичний зміст?

14. Доведіть, що нормальне прискорення дійсно нормальне, тобто перпендикулярне до швидкості – звідси назва – нормальне прискорення.

15. Як визначити модуль нормального прискорення і яке його значення?

16. Доведіть, що тангенціальне прискорення дійсно тангенціальне (дотичне) до траєкторії руху точки – звідси назва – дотичне або тангенціальне прискорення.

17. Як при криволінійному русі точки визначається повне прискорення?

18. Приведіть приклади руху з «чистим» нормальним і «чистим» тангенціальним прискоренням, а також приклад руху, де одночасно є нормальне та тангенціальне прискорення.

19. Який фізичний зміст каріолісового прискорення?

20. Що являє собою обертовий рух твердого тіла відносно нерухомої осі обертання? Що таке вісь обертання?

21. Який обертовий рух називається рівномірним і що таке кутова швидкість? B яких одиницях вона вимірюється?

22. Дайте означення вектора кутової швидкості. Чи є цей вектор істинним? За яким правилом і як визначається напрям вектора кутової швидкості?

23. Покажіть, що миттєве кутове прискорення є похідною від функції кута повороту по часу.

24. Як вводиться поняття кутового прискорення? В яких одиницях воно вимірюється? Як визначається напрям вектора кутового прискорення?

25. Який зв'язок між лінійною і кутовою швидкостями при обертовому русі в скалярному і векторному вигляді?

26. Встановіть зв'язок між тангенціальним і кутовим прискореннями при обертовому русі.

27. Що собою являє каріолісове прискорення?

2 ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ (ТІЛА) ПРИ ПОСТУПАЛЬНОМУ РУСІ. ЗАКОНИ НЬЮТОНА. СИЛИ В МЕХАНІЦІ. ГРАВІТАЦІЯ

2.1 Динаміка матеріальної точки (тіла) при поступальному русі. Закони Ньютона

Динаміка (від грецького «dynamis», що значить сила) – розділ механіки, який вивчає рух тіл під дією прикладених до них сил. Поняття сили є одним з основних понять динаміки, про що буде йти мова згодом.

В динаміці на основі законів Ньютона розглядаються два типи задач. Задачі першого типу – це такі, коли, знаючи закони руху тіла, необхідно визначити сили, що діють на це тіло. Задачі другого типу полягають в тому, що знаючи сили, які діють на тіло, визначити закони його руху. Задачі такого типу є найбільш поширеними в техніці. Всі ці задачі розв’язуються застосуванням законів Ньютона – фундаментальних законів класичної механіки. Сам Ньютон навіть не міг перебачити, яке величезне практичне застосування знайдуть його закони. Так що ж штовхало Ньютона до такого фундаментального відкриття? Людина за своєю природою є допитливою істотою. Особливо ця допитливість проявляється в дитинстві – мала дитина задає безліч питань: а чому, а що, а як і т.п. Так ось, справжній вчений та людина, яка не втратила дитячої допитливості і в дорослому віці, тільки вона ставить більш серйозні питання і, не знайшовши на них готової відповіді сама, в своїх наукових пошуках знаходить цю відповідь. Як побудований світ, які основні закони діють в цьому світі – це ті питання, над якими працювали і працюють фізики. Ще задовго до Ньютона ряд передових мислителів, наприклад Декарт, уявляли світ як механізм, який діє за законами причинності і який не має меж. Задуманий і створений вищою істотою цей механізм може функціювати самостійно. Вперше наукове пояснення цього механізму було дано англійським вченим Ісаком Ньютоном в його безсмертній роботі «Математичні начала натуральної філософії», яка вийшла в світ у 1687 році. Потім було ще два видання в 1713 та 1720 р., в яких Ньютон розглядає не тільки закони механіки, але й торкається фундаментальних понять простору і часу. У восьмому розділі другої книги Ньютон розглядає питання акустики. Особливу увагу заслуговує «Оптика», де вперше він висуває корпускулярну гіпотезу про природу світла, до якої повернулись майже через століття. Навіть в такій прикладній дисципліні, яку тепер ми називаємо реологія (наука про течію рідин), Ньютон вперше встановлює закон внутрішнього тертя, який і в даний час має велике практичне значення, про що детально буде йти мова в розділі «Механіка рідин і газів» даного посібника. Дійсно, Ньютон геніальний вчений і на могильному пам’ятнику, де він похований у Вестмінстерському абатстві в Лондоні є такий напис «Тут спочиває сер Ісак Ньютон, дворянин, який майже божим розумом перший довів з факелом математики рух планет, шляхи комет та приливи в океані. Він досліджував властивості світлових променів і появу при цьому різних кольорів, про що раніше ніхто не здогадувався. Старанний, мудрий і вірний проповідник природи і святого писання, він стверджував своєю філософією велич всемогутнього Бога, а сам виражав євангельську простоту. Хай смертні радіють, що існувала така прикраса роду людського. Родився 25 грудня 1642 р., помер 20 березня 1737р.».

і тоді приходимо до відомого формулювання другого закону Ньютона:

Прискорення матеріальної точки прямо пропорційне силі, яка на нього діє та направлене в сторону дії цієї сили.

Звичайно, треба розуміти, що в другому законі Ньютона мова йде про матеріальну точку або тіло, що здійснює поступальний рух – прискорення всіх точок однакове, тому вираз називають ще законом Ньютона для матеріальної точки або тіла при поступальному русі. Крім того, сила може бути рівнодійною багатьох сил, що діють на тіло, тобто

. (2.1.6)

Нарешті, Ньютон дає означення сили як причини, що зумовлює зміну стану спокою або рівномірного прямолінійного руху. Тому, користуючись таким підходом до означення сили, і була введена одиниця сили 1Н (Ньютон).

Сила 1Н – це така сила, яка надає тілу масою 1 кг прискорення 1і згідно 2.14 одиниця сили 1 Н є похідною одиницею від основних одиниць системи СІ . Часто говорять, що 1Н дорівнює добутку метр на кілограм, ділено на секунду у квадраті. Ніхто ніколи не множив кілограм на метр та ще ділив на час у квадраті. Наприклад, на тіло масою 2 кг діє сила 10 Н. Це не значить, що множимо 5 кг на 2 м і ділимо на секунду у квадраті – ми множимо лише цифру 5 на 2 і ділимо на одиницю і в результаті отримаємо цифру 10, як 10Н або . Таким чином, знаючи прискорення а тіла масою m, згідно (2.1.4), можна визначити значення сили, що спричинило таке прискорення, але це не означає, що запис другого закону Ньютона у вигляді (2.1.4) є означенням сили як добутку маси на прискорення. Ще раз підкреслимо, що сила – фізична величина, яка характеризує дію на тіло, внаслідок чого тіло змінює стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, тобто набуває прискорення (або викликає деформації, адже деформації – це теж зміна стану тіла).

Третій закон Ньютона

Цей закон встановлює фундаментальну властивість взаємодії двох тіл і Ньютон наводить наступне формулювання цього закону:

Дії є завжди рівна протилежна протидія, інакше ,сили взаємодія двох тіл одне на одне рівні за величиною і напрямленні в протилежні сторони.

Математично третій закон Ньютона записується у вигляді

, (2.1.7)

де - сила, яка діє на перше тіло зі сторони другого,

- сила, яка діє на друге тіло з сторони першого.

Сили, з якими діють одне на одне два тіла, завжди рівні за модулем, направлені в протилежні сторони і діють по одній прямій.

Рисунок 2.1.3 ілюструє центральну взаємодію двох сферичних тіл, тобто сили взаємодії цих тіл співпадають з прямою, яка з’єднує центри цих тіл.

Тут треба особливо підкреслити, що рівнодійна цих двох сил, хоча вони за модулем рівні і напрямлені в протилежні сторони, не дорівнює нулю, так як ці сили прикладені до різних тіл. При будь-яких взаємодіях двох тіл сили завжди виникають попарно і обидві сили мають однакову природу. Як тут не згадати відоме питання – жарт. Кінь тягне сани чи воза, приклавши до воза деяку силу. Згідно третього закону Ньютона така ж сама сила буде діяти і на коня. Тому чому ж тоді сани чи віз рухаються? На подібне питання одна студентка на екзамені, не вагаючись, відповіла – «а кінь трішечки-трішечки сильніше тягне сани». Це ж питання можна поставити про локомотив, який тягне потяг, що локомотив трішечки сильніше тягне потяг? А тепер з’ясуємо, чому ж все таки кінь тягне сани, як вказано на рис.2.1.4. Так ось, говорячи про коня і сани, що тягне кінь, необхідно розглянути ще одне тіло, без якого неможливий рух і коня і саней. Цим тілом є Земля – планета Земля, на якій ми знаходимось і на якій все, що тільки може рухатись – рухається. Почнемо з руху саней, що ж змушує їх рухатись – кінь? А якщо на півночі сани тягнуть собаки або олені? Звичайно, для їздового має значення на кого крикнути – НУ! і батогом махнути, а щодо саней – вони рухаються тому, що на них діє сила натягу упряжки і немає значення, чим вона створена: чи кіньми, чи оленями, чи собаками і т.п. А перешкоджає руху саней сила тертя. Отже, якшо маса саней m₁, то рівняння руху саней запишеться:

. (2.1.8)

А що відчуває кінь? Він копитами впирається об землю, відштовхується від неї і рухається. Якщо б кінь був би на гладенькому льоді, то не то що сани, але й сам з місця би не зрушив.

Отже, з точки зору фізики це значить: одне тіло (кінь) діє на друге тіло (Землю) з деякою силою з такою ж силою (ні трішечки не більше) на друге тіло (Землю) діє на перше (коня ) з сило , це і буде та сила, яку ми називаємо силою тяги. Ще раз підкреслимо – сани тягне сила натягу упряжки, а для коня – це його робота: створити цю силу натягу. Отже, кінь розвиває силу тяги і йому протидіє сила натягу упряжки і, якщо маса коня m₂ , то рівняння його руху прийме вигляд

. (2.1.9) Почленно додавши ці рівняння і враховуючи, що , отримаємо

, (2.1.10)

або в проекціях на вибраний напрям руху

. (2.1.11)

Таким чином, щоб система рухалась з прискоренням, тобто щоб сани зрушили з місця, сила тяги, яку розвиває кінь за рахунок взаємодії з Землею (а не з саньми) повинна хоч трішечки бути більшою від сили натягу упряжки, яка діє на коня з боку саней. А студентка говорила лише про взаємодію двох тіл: тільки коня і тільки саней, опускаючи наявність Землі, з якою взаємодіє кінь, створюючи рушійну силу тяги. Подібним чином можна пояснити і рух поїзда, який тягне локомотив. Саме за рахунок тертя між рейками і колесами локомотива створюється сила тяги, прикладена до локомотива.А сила натягу зєднання між локомотивом і вагонами є силою, що змушує рухатись вагони.

2.2 Сили в природі. Сили в механіці

Перш ніж перейти до розгляду питання про сили в механіці, поставимо більш загальне питання: а звідкіля «беруться» сили? Справді, ми звикли до терміну – на тіло діє сила або тіла взаємодіють з певною силою і це нам здається зрозумілим. Але яка причина «появи» цих сил, і що відбувається при контакті тіл? Відповідь дуже проста – причиною такої механічної контактної взаємодії тіл є взаємодія на відстані атомів і молекул, з яких складаються дані тіла. Дійсно, жоден атом чи молекула першого тіла (рис. 2.1.3) не торкнеться, в прямому розумінні, атома чи молекули другого тіла, цьому будуть перешкоджати електрична взаємодія електронних оболонок атомів. Так само, жоден атом копит коня (рис.2.1.4) не торкнеться атома поверхні дороги. Таким чином, більшість сил в механіці має електричну природу. Якщо ж говорити про природу будь-яких інших сил, то сучасна фізика широкий клас сил зводить до наступних фундаментальних типів взаємодій.

1. Гравітаційна взаємодія про яку буде мова йти дещо пізніше в законі всесвітнього тяжіння Ньютона. Гравітаційна взаємодія – універсальна взаємодія – всі тіла притягуються.

2. Електромагнітна взаємодія – взаємодія електричних зарядів. Якщо заряди нерухомі, то ця взаємодія називається електростатичною. При відносному русі зарядів стає помітною ще додаткова взаємодія, яку називають магнітною.

3. Сильна взаємодія – особлива взаємодія між елементарними частинками загальною назвою адрони (від грецького – сильний). До адронів належать протони і нейтрони, і саме між ними в ядрі має місце сильна взаємодія тільки на коротких відстанях.

4. Слабка́ взаємодія. Взаємодія названа слабкою, оскільки напруженість відповідного їй поля в 1013 менша, ніж у полів, що утримують разом ядерні частинки. Крім того, ця взаємодія є короткодіючою і проявляється лише на відстанях, порядку розміру атомного ядра. Незважаючи на слабкість такої взаємодії, вона відіграє значну роль в мікросвіті, особливо це стосується бета-розпаду, тобто перетворення нейтрона в протон.

Що стосується самого механізму фундаментальних взаємодій, то вони мають обмінну природу. Інколи наводять такий приклад: двоє людей на ковзанах, стоячи на гладенькому льоді, перекидають м’яч один одному. Зловивши і відкидаючи м’яча, люди будуть віддалятись один від одного, ніби діє сила відштовхування. Отже, в мікросвіті роль таких м’ячиків виконують особливі елементарні частинки, обмін якими приводить не до відштовхування а притягування. Звичайно, таке порівняння далеке від дійсності, але обмінна взаємодія є достовірно встановлений факт.

Хоча опис фундаментальних взаємодій виходить за рамки даного курсу механіки, вважаємо доцільним відмітити ще про одне особливе явище – глюонну взаємодію, взаємодію між особливими елементарними частинками кварками, з яких складаються всі елементарні частинки. Так, електрон складається з трьох кварків, і, що цікаво, розірвати зв'язок між кварками поки що неможливо, вони, образно кажучи, міцно склеєні. В англійській мові glue означає клей, звідси назва глюонна взаємодія. Нарешті, якщо вже почали говорити про новітні досягнення фізики в галузі фундаментальних взаємодій, то повинні поставити крапку. Але «крапки» у фізиці не існує, чим більше ми вивчаємо загадки природи, тим далі відсувається ця крапка на останній книзі знань природи. Поки що сучасна фізика намагається поставити лише одну крапку лише на одній сторінці незавершеного видання законів природи – і назва цієї сторінки «Велике об’єднання». Під великим об’єднанням розуміють теорію, яка може об’єднати всі відомі типи взаємодій у одну взаємодію і це об’єднання може відбуватись лише при надзвичайно високих енергіях порядку 10²³ електрон-вольт. Поки що сучасна експериментальна фізика не в змозі на прискорювачах розігнати частики до таких колосальних енергій.

«Побувавши» на передньому краю сучасної фізики, яка встановлює основні фундаментальні типи взаємодій, нам буде легко дати означення терміну «сили в механіці». Отже, сили в механіці – це окремі прояви в окремих конкретних явищах фундаментальних взаємодій. До сил в механіці належать сили тертя та сили пружності, які мають електромагнітну природу. Що стосується сил тяжіння, то тут маємо чисто гравітаційну взаємодію. В даному розділі «Сили в механіці» буде застосований, так званий, феноменологічний підхід. Феноменологічний – від грецького phenomenon, що значить явище + logos – поняття, вчення, тобто, говорячи про феноменологічний підхід до сил в механіці, ми матимемо на увазі лише встановлення основних властивостей та закономірностей таких сил. Такий феноменологічний підхід застосував Ньютон, відкривши закон Всесвітнього тяжіння, встановивши явище притягання між тілами і математично описавши силу притягання, навіть не намагаючись пояснити природу такої взаємодії.

Тертя не є якимось особливим видом взаємодії, а зумовлене, як і більшість процесів у макросвіті, електромагнітною взаємодією. Дійсно, якщо одне тіло зі скрипом рухається по поверхні іншого тіла, то це не значить, що молекули чи атоми другого тіла в буквальному розумінні труться об атоми першого тіла, між ними в масштабах мікросвіту значна віддаль. Атоми чи молекули взаємодіють електричними полями. А скрип при терті – це результат того, що при відносному русі тіл молекули чи атоми тіл відхиляються від попереднього положення, а потім стрибком повертаються назад, здійснюючи такі негармонічні коливання, які викликають характерний звук. Хто не чув, як скриплять не змащені двері, навіть в українській пісні про це співається «на двері воду лила, щоби не скрипіли». Якщо вже мова пішла про пісню про тертя, то чому не розглянути їх музичне супроводження, теж за рахунок тертя, а саме – гру на скрипці. Коли вести смичок по струнах скрипки, то саме за рахунок тертя струна тягнеться з смичком а потім зривається і повертається назад Цей процес періодично повторюється при русі смичка, а такі характерні коливання струни дають всім відоме звучання скрипки (такі коливання називаються автоколиваннями).

Питання тертя мають надзвичайно велике практичне значення, тому ними займається окрема спеціальна дисципліна – трибологія (від грецького tribos – тертя), маючи велике практичне значення. Розрізняють зовнішнє та внутрішнє тертя. Зовнішнє тертя – механічний опір, який виникає в площині дотику двох притиснутих один до одного тіл при їх взаємному переміщенні. Внутрішнє тертя зумовлено взаємним переміщенням шарів тіла одне відносно іншого. В розділі «Механіка рідин і газів» питанням внутрішнього тертя буде надана особлива увага, а поки що розглянемо зовнішнє тертя. Зовнішнє тертя, в свою чергу, розрізняється на тертя ковзання та тертя кочення. Почнемо з тертя ковзання, без якого в буквальному розумінні не можна ступити ні кроку (згадаймо ходьбу в ожеледицю).

Якщо тіла, що взаємодіють, не розділені додатковими шарами, то тертя, яке виникає в такому випадку між тілами, називається сухим. Внаслідок нерівностей та поверхонь кожного з тіл, їх дотик відбувається в так званих окремих «плямах», які зосереджені на вершинах виступів. Характерною властивістю сухого тертя є наявність максимальної сили тертя спокою. З такою максимальною силою сили тертя спокою ми часто стикаємось в побуті, наприклад зсуваючи з місця меблі. Спочатку треба зсунути шафу з місця а потім вона «сунеться» легше. Причина проста: в стані спокою між ніжками шафи та підлогою є багато «плям», зсуваючи шафу ми, по суті, руйнуємо нерівності, тим самим зменшуючи тертя. На рис. показано таку залежність сили тертя від зміщення.

На рис.2.2.1 наведено графік залежності сили тертя ковзання від зміщення.

Ділянка 1відповідає зростанню сили тертя спокою до максимального значення і має місце при дуже малому зміщенню, порядку 10^{-6 м, Після того як прикладена сила перевищить критичне значення, сила тертя дещо зменшиться (ділянка 2) і далі вже практично не залежить від переміщення (ділянка 3).}

Кількісною характеристикою тертя ковзання є коефіцієнт тертя ковзання, поняття якого вводиться наступним чином. Так, якщо одне тіло рівномірно ковзає по поверхні другого тіла, як вказано на рис.2.2.2., то дотична сила F, яку рухає дане тіло дорівнює силі тертя ковзання F_ТР. Звичайно, що згідно третього закону Ньютона до тіла, по якому відбувається даний рух буде прикладена така ж сама сила -F_тр .

Експериментально встановлено, що сила тертя ковзання не залежить від площі поверхонь, які дотикаються і пропорційна величині сили нормального тиску, з якою притискаються поверхні. Ця залежність була встановлена французьким фізиком Кулоном, називається законом Кулона для тертя

, (2.2.1)

де сила _n – сила нормального тиску, сила з якою тіло тисне на дану поверхню і може бути зумов

лена вагою або іншими причинами (наприклад, тіло ще притискаємо до поверхні). З такою ж силою, але протилежною за напрямом ця опора діє на тіло (N-реакція опори ) (рис.2.2.2),

де безрозмірний коефіцієнт називається коефіцієнтом тертя ковзання. Він залежить від природи і стану поверхонь тіл. Строго кажучи, цей коефіцієнт ще залежить від швидкості руху тіл, але при малих швидкостях його вважаємо сталим. Наприклад, для сталі по сталі = 0,2, для сталі по бронзі 0,05.

Якщо тіло масою mзнаходиться на горизонтальній площині і зверху його не прискати до цієї площини, то сила нормального тиску дорівнює вазі тіла F_n= mg. А тепер перейдемо до загального випадку – тіло довільної форми знаходиться на довільній криволінійній поверхні, як вказано на рис.2.2.3.

А. В точці дотику тіло знаходиться подібно як на похилій площині з кутом нахилу . Силу тяжіння F=mg можна розкласти на дві складові:

- нормальну (перпендикулярну) та - тангенціальну(дотичну), яку інколи популярно називають «скочуючою силою».

Б.В площині дотику на тіло з боку площини діють реакція опори Nта максимальна сила тертя F_ТР. Рівнодійна цих сил Rскладає з напрямом реакції опори кут , який називається кутом тертя. Геометричне місце всіх можливих напрямів максимального значення реакції опори утворює конічну поверхню, яка називається конус тертя. Якщо коефіцієнт тертя в усіх напрямах буде однаковий, то конус тертя буде круговим так,що

. (2.2.2)

Отже, найпростіший метод визначення коефіцієнта тертя ковзання – це метод визначення кута нахилу похилої площини, коли тіло, що знаходиться на ній, почне ковзати.

Сили тертя відіграють важливу роль в природі і в техніці. Можна говорити про корисну та шкідливу роль цього тертя. Завдяки силам сухого тертя втримуються разом деталі, скріплені цвяхами або шурупами, без тертя неможливо було б рухатись по дорозі (згадаймо ожеледицю) і т.д. В інших випадках тертя шкідливе, особливо в деталях машин і механізмів, які рухаються, що приводить до втрат енергії. Тому для зменшення сили тертя ковзання використовують різноманітні способи, наприклад мастила, де мастила заповнюють простір між тілами і сухе тертя замінюється меншим внутрішнім тертям між шарами рідини (мастила). Також, де є можливість, тертя ковзання заміняють тертям коченням. Якщо при терті ковзання, грубо кажучи, «зрізаються» нерівності, то механізм тертя кочення зовсім інший. Так, якщо по поверхні будь-якого тіла котиться колесо, то воно «втискується» в поверхню тіла, робить впадину, і колесу доводиться долати невеличкий виступ, який завжди при коченні уговорюється перед колесом, що є причиною тертя кочення, яке менше тертя ковзання.

Винахід колеса є одними з найважливіших і найстародавніших винаходів людства (ймовірно, в Месопотамії в 4 тисячолітті до н.е.). Перше колесо було дерев'яним диском з отвором в центрі, в який насаджувалася вісь.

Без заміни тертя ковзання на тертя кочення був би неможливий відомий шлях із варягів у греки («Грецький шлях») – назва основного водного торгового шляху Київської Русі, що зв'язував північні райони країни з південними руськими землями і скандинавські країни з Візантійською імперією у 9-12 віках. Це був шлях з Балтійського до Чорного моря, де доводилось перетягувати човни з однієї ріки в іншу (Двіна – Дніпро), тягнути волоком, підставляючи під них круглі колоди, тим самим заміняючи тертя ковзання значно меншим тертям кочення. Таку картину «волочіння» зображено художником Н.К.Реріхом (рис.2.2.4).

Це був короткий екскурс у історію. А тепер фізика тертя кочення. Нехай по горизонтальній поверхні котиться тіло сферичної форми радіусом . Під дією ваги тіла на горизонтальній поверхні з’являється впадина шириною , як це вказано на рис.2.2.5, стрілкою вказано напрям обертання тіла і тим самим напрям кочення. При коченні тіло завжди буде робити заглиблення і долати це заглиблення у точці , що зумовлює тертя кочення. При рівномірному русі прикладена до тіла в напрямі його руху сила дорівнює силі тертя кочення. Під дією зовнішніх сил циліндр буде котитись, як вказано на рис 2.2.5 направо, повертаючись в кожен момент навколо точки С,в якій діють сили реакції опори та тертя. При малій деформації, коли для розрахунків можна вважати, що точки А,Вта С «зливаються»в одну точку. Тоді момент сили, що обертає диск, дорівнює моменту сили тертя

. (2.2.3)

І цей момент сили пропорційний реакції опори

, (2.2.4)

- коефіцієнт тертя кочення .

. (2.2.5)

Тобто, коефіцієнт тертя кочення вимірюється в одиницях довжини – в метрах.

У сучасних машинах і механізмах широкого застосування набули шарикопідшипники, де замість тертя ковзання має місце значно менше тертя кочення. Так, на рис.2.2.6. показано вал, що підтримується і обертається завдяки двом шарикопідшипникам, між якими знаходяться тіла кочення (стальні кульки – «шарики».

Продовжуючи тему кочення, зупинимось на цікавому унікальному природному явищі під назвою перекотиполе. Перекотиполе – це особливі утворення, які складаються з відмерлих і висохлих польових рослин. Суха стеблина, підхоплена вітром, починає обертатись і своїми гострими гілочками захоплює стебла та гілки інших росли, утворюючи кругле або циліндричне тіло, яке котиться під дією вітру (рис.2.2.7).

2.2.2 Сили пружності

Під дією прикладених сил всі тіла деформуються. Якщо після припинення дії сили тіло приймає початкову форму і розміри, то така деформація називається пружною. Як приклад, розглянемо пружну деформацію пружини, яку стискають або розтягують рукою (рис.2.2.8).

В загальному випадку сила пружності, прикладена до зв’язків, тобто до тіл, які приводять до пружної деформації.

Сила пружності, як легко бачити з рис.2.2.8 має напрям, протилежний деформації (зміщенню ) і залежність сили пружності від деформації описується відомим законом Гука

(2.2.6)

де – коефіцієнт пропорційності, називається коефіцієнтом жорсткості, вимірюється в Н/м. Цей коефіцієнт чисельно дорівнює силі, необхідній для деформації даного тіла (пружини) на одиницю довжини (1м). Більш детально про сили пружності та закони деформації твердих тіл буде розглянуто в розділі «Механічні властивості твердих тіл».

Фізична природа пружності зв’язана з електромагнітною взаємодію між молекулами та атомами у вузлах кристалічної решітки тіла. При деформації тіла змінюється відстань між його атомами і молекулами.

2.3 ГРАВІТАЦІЯ

Ще до Ньютона висловлювались думки про те, що всі тіла між собою притягуються. Німецький астроном Кеплер, описуючи рух планет, дуже близько підійшов до ідеї гравітації, підкреслюючи, що тяжіння є взаємне „бажання” тіл притягуватись, і, на основі астрономічних спостережень, встановив закони руху планет, які тепер називають законами Кеплера. Далі буде показано, як з цих законів Ньютон отримав закон Всесвітнього тяжіння, і цей закон овіяний легендою про яблуко, яке впало йому на голову. Справді, яблуко впало, але не наголову, ось про що розказав сам Ньютон – легенда не безпідставна. Так, гуляючипо яблуневому саду в маєтку своїх батьків, раптом побачив місяць в денному небі. І тут же на його очах з гілки відірвалося і впало на землю яблуко. Оскільки Ньютон в цей самий час працював над законами руху, він вже знав, що яблуко впало під впливом гравітаційного поля Землі. Знав він і про те, що Місяць не просто висить в небі, а обертається по орбіті навколо Землі, і, значить, на нього впливає якась сила, яка утримує його від того, щоб зірватися з орбіти і відлетіти по прямій геть, у відкритий космос. Тут йому і прийшло в голову, що, можливо, це одна і та ж сила примушує і яблуко падати на землю, і Місяць залишатися на навколоземній орбіті. Знаменитої яблуні в родовому маєтку Ньютона у Вулсторпе (графство Лінкольншир, Англія) давно немає, проте шляхом черенкування від неї виведено вже не одне покоління нових яблунь. Ця яблуня (рис.2.3.1), наприклад, росте у дворі коледжу Бебсон в Уелслі (штат Массачусетс, США).

А тепер конкретно про закон тяжіння Ньютона, про те, що закони Кеплера дозволили Ньютону в математичній формі описати гравітаційну взаємодію тіл. Тому спочатку коротко зупинимось на законах Кеплера.

2.3.1 Закони Кеплера. Закон Всесвітнього тяжіння

Німецький астроном Іоаган Кеплер (1571-1630р.), вивчаючи рух планет і користуючись астрономічними даними датського астронома Тихо Браге провів дійсно титанічну роботу. Вісім років виснажливих розрахунків (йому б навіть простий сучасний калькулятор) дали можливість встановити три фундаментальні закони руху планет, з яких безпосередньо випливає закон Всесвітнього тяжіння

1. Планети рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце. (У другому фокусі еліпса немає нічого, рис.2.3.4).

Найближча до Сонця точка орбіти називається перигелієм, а найдальша від нього точка – афелієм.

Ступінь витягнутості еліпса характеризується його ексцентриситетом. Ексцентриситет дорівнює відношенню відстані фокуса від центра до довжини великої півосі (середньої відстані планети до Сонця). Коли фокуси й центр збігаються, еліпс перетворюється в коло. Орбіти планет – еліпси, які мало відрізняються від кіл: їхні ексцентриситети малі. Наприклад, ексцентриситет орбіти Землі е = 0,017.

2. Радіус-вектор – відрізок прямої лінії, що з'єднує Сонце з планетою описує за однакові проміжки часу однакові площі.

Площа, яку описує радіус- вектор за одиницю часу називається векторіальною швидкістю. Лінійна швидкість руху планети неоднакова в різних точках її орбіти. Швидкість планети під час її руху по орбіті тим більша, чим ближче вона до Сонця. У перигелії швидкість планети найбільша, в афелії найменша.

З точки зору класичної механіки, другий закон Кеплера є проявом закону збереження моменту імпульсу, про що буде йти мова в розділі «Динаміка обертового руху».

3. Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих піввісей їх орбіт:

. (2.3.1)

Якщо б планети рухались не по еліпсам, а по круговим орбітам, то вже з третього закону Кеплера можна було б встановити, що планети притягуються до Сонця з силою, яка обернено пропорційна квадрату відстані від Сонця. Наприклад, дві планети масами і (може бути Земля і Марс) обертаються по круговим орбітам радіуса і . При обертовому русі тіла по колу існує доцентрове прискорення (див. розділ І)

. (2.3.2)

Тоді, згідно ІІ закону Ньютона, будемо мати:

. (2.3.3)

Якщо порівняти відношення сил та , які діють на дві планети, то

. (2.3.4)

Згідно третього закону Кеплера отримуємо:

. (2.3.5)

Таким чином, сила, з якою планети притягуються до Сонця, справді обернено пропорційні квадрату відстані до Сонця.

Так ось, Ньютон на основі законів Кеплера встановив, що сила, з якою планети притягуються до Сонця, обернено пропорційна квадрату відстані до Сонця і, найголовніше, узагальнив цей законпритягання для будь-яких тіл, стверджуючи, що «кожен об'єкт у Всесвіті притягує кожен інший об'єкт». Звідси назва – закон Всесвітнього тяжіння,який має наступне сучасне формулювання:

Дві матеріальні точки масами і притягуються одна до одної з силою, яка прямо пропорційна добутку мас цих точок і обернено пропорційно квадрату відстані r між ними

. (2.3.6)

В цьому законі G – гравітаційна стала,, яка чисельно дорівнює силі притягання між точковими тілами масою 1 кг на відстані 1 м і значення цієї сталої можна визначити лише експериментально, прощо мова буде йти дещо пізніше.

у векторній формі цей закон записується у вигляді

, (2.3.7)

де– сила, з якою друга матеріальна точка притягує першу, - одиничний вектор (орт), напрямлений від першої матеріальної точки до другої, як вказано на рис.2.3.5.

Сила відрізняється від сили знаком,.

Дещо пізніше будемо говорити, чому всі тіла притягуються, сам Ньютон навіть не ставив питання про причину гравітації. А тепер з’ясуємо роль маси в законі тяжіння, адже в другому законі Ньютона теж використовується поняття маси. Виникає питання чи однакові, чи подібні ці маси. А то як в гуцульському анекдоті – один гуцул поїхав в Київ і розказав другому де був, що бачив і, між іншим, розказав про зоопарк, про тварин, яках звичайно немає в Карпатах. Каже – бачив жирафу. А яка вона, питає другий, ну розумієш, коня бачив – бачив ну подібне, тільки шия довга. Так само зебра, як кінь, тільки зі смугами. А крокодила бачив, який він – питає другий. Ти розумієш, пояснює перший, коня бачив – бачив – так крокодил зовсім не подібний до коня. Точно як з масою – бачимо букву m в другому законі Ньютона? Бачимо, а тепер гляньте на закон тяжіння Ньютона – така ж сама буква m, але зовсім не подібна на масу у другому законі Ньютона. Справді, якщо б маса в другому законі Ньютона могла говорити, то вона б навіть кричала – не чіпайте мене, дайте мені спокій, не хочу, не буду змінювати свій стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, тільки зовнішня сила змушує змінити цей стан, чим більше я маю кілограмів, тим я інертніша (або в перекладі з латині на українську – лінивіша). В законі тяжіння маса характеризує принципово нову властивість тіл – властивість притягання. Чим більша моя маса, каже тіло, тим з більшою силою я притягаю інші тіла, і цю мою масу в законі тяжіння вже не називають «лінивою», а гравітаційною масою.Гравітація, від латинського gravitus , що значить важкий (звідси назва одиниці маси грам), тому в багатьох випадках масу в законі тяжіння Ньютона називають важкою масою. Кілограми інертної маси і кілограми гравітаційної маси зовсім різні речі, хоча вимірюються в одних і тих самих одиницях (продовжуючи попередній жарт можна сказати, що маса коня і крокодила можуть бути однакові, але кінь зовсім не подібний до крокодила, або як ще кажуть в Одесі –«это две большие разницы»). Жарти жартами, але питання про еквівалентність інертної і гравітаційної маси є наріжним каменем загальної теорії відносності Ейнштейна, про яку ми теж будемо згодом говорити. На закінчення розгляду питання закону Всесвітнього тяжіння доцільно порівняти цей закон з законом Кулона електростатичної взаємодії зарядів

. (2.3.8.)

Бачимо повну математичну аналогію в тому розумінні, що сила електростатичної взаємодії, як і гравітаційної, обернено пропорційна відстані між зарядами, тільки в чисельнику замість мас тіл маємо електричні заряди. Тому, продовжуючи таке порівняння, інколи говорять, що маса тіл є своєрідним гравітаційним зарядом.

2.3.2 Експериментальне визначення гравітаційної сталої. Дослід Кавендиша

Фізичний зміст гравітаційної сталої в законі тяжіння Ньютона дуже простий, про що вказувалось в попередній темі. Так, з цього закону гравітаційна стала визначається наступним співвідношенням

.(2.3.9)

Але для цього необхідно знати числові значення всіх величин, що входять в це співвідношення, необхідно їх виміряти. Якщо вимірювання мас тіл та відстаней між ними особливих труднощів не складає, то вимірювання сил притягання – складна експериментальна задача.Майже у всіх підручниках фізики читаємо стандартну фразу «вперше гравітаційну сталу було визначено в 1798 році англійським фізиком Кавендишем за допомогою крутильних терезів» (дається короткий опис експерименту та вказується отриманий результат G=6,67·10^-11(Н·м²)/кг². Так то воно так, але трішечки не так (крилата фраза Шельменко-денщика, українського Фігаро). Це трішечки «не так» полягає в тому, що це зовсім не так. Кавендиш в своїх дослідах не визначив гравітаційну сталу, а масу Землі, точніше її густину, порівнюючи її з густиною води. Виникає питання, а чому Кавендиш не визначив гравітаційну сталу. Банальна відповідь – він не знав про її існування. Так, не знав і не міг знати. Перенесемося в кінець 18 століття, коли ще не було єдиної системи фізичних одиниць. Хоч як би хотів Кавендиш визначити гравітаційну сталу, її просто в той час не існувало, адже для її фізичного тлумачення потрібна одиниця сили. Лише згодом в 1832 німецьким фізиком Гаусом була встановлена перша система фізичних одиниць і першою одиницею сили була дн (дина) – це така сила яка надає тілу масою 1г прискорення 1 м/с² (порівняйте з одиницею сили 1Н). Так в чому ж таки заслуга Кавендиша, якщо він не визначив числового значення гравітаційної сталої? А заслуга надзвичайно велика – визначивши масу Землі, Кавендиш дав можливість при появі єдиної системи фізичних величин легко розрахувати в цій системі гравітаційну сталу.

Так все ж таки, як Кавендиш визначив густину Землі, не знаючи про єдину систему фізичних величин, якої на той час і не було. Тут Кавендиш, користуючись мовою сучасної науки і техніки, використав принцип фізичного моделювання. Щоб зрозуміти ідею такого моделювання дещо видозмінимо деталі досліду Кавендиша, залишаючи без змін сам принцип досліду. Тобто, якщо тіло масою m притягається до Землі, як кулі масою М_З та радіуса R_З з силоюF_З , то це ж тіло в лабораторних умовах буде притягатись до кулі масою М та радіуса R з силоюF. Тобто, маємо модель Землі. В дослідах Кавендиша такою своєрідною моделлю Землі були свинцеві кулі діаметром 20 см і масою 49,5 кг, а тіло, що зазнає притягання – свинцева кулька діаметром 5 см та масою 775 г.

Знаючи закон тяжіння, Кавендиш міркує так: сила притягання зі сторони Землі в стільки разів більша, в скільки разів маса Землі більша маси моєї кулі, а, враховуючи квадратичну залежність сили тяжіння від відстані, будемо мати наступне відношення:

. (2.3.10)

Звідки маса Землі дорівнює

. (2.3.11) Отже дійсно, для визначення маси Землі в дослідах Кавендиша зовсім не потрібне значення гравітаційної сталої. Тому інколи дослід Кавендиша називають дослідом «зважування Землі» і, найголовніше, що немає потреби визначати абсолютні значення сил тяжіння, треба знати їх відношення. Але як це зробити? Якщо йде мова про порівнянне вимірювання двох однойменних фізичних величини, то найкраще проводити їх вимірювання одним і тим же приладом, тут абсолютні значення величин нам не потрібні, наприклад, шкала в приладі Кавендиша була проградуйована в дюймах, а ми б градуювали в міліметрах, від цього відношення лінійних величин не змінюється – відношення дюйм на дюйм таке саме як міліметр на міліметр. Що стосується конструкції самого приладу, то він повинен бути, мовою сучасної техніки, приладом з широким діапазоном вимірювань – починаючи від надзвичайно слабої гравітаційної взаємодії свинцевої кулі масою М з кулькою масою m і закінчуючи таки добре відчутною силою притягання цієї ж кульки до величезної кулі, якою є Земля. Ці вимоги найкраще здійснити за допомогою крутильних терезів, де незначне кутове переміщення може бути «підсилене» зміщенням променя світла відбитого від дзеркала, яке закріплене на рухомій частині приладу. Поетапно розглянемо принцип досліду Кавендіша, що ілюструє рисунок 2.3.6

Саме горизонтальне розташування коромисла в дослідах Кавендиша дало можливість в «чистому» виді визначити силу притягання між свинцевими кулями, виключаючи силу притягання до Землі. При горизонтальному розташуванні коромисла сила тяжіння до Землі перпендикулярна до напряму переміщення куль і не може викликати їх обертання, і ця сила пропорційна куту повороту коромисла. В дослідах Кавендиша визначалось зміщення відбитого променя на шкалі приладу з точністю 0,02 дюйма ( 1 дюйм відповідає 2,54 см). Отже, якщо малі кулі притягаються до великих з силою , то це і викликає зміщення променя по шкалі приладу на k₁ дюймів, а сила притягання тих же самих куль, тільки тепер до Землі зміщується промінь на k₂ дюймів. Вважаючи пропорційність цих зміщень до сил, відношення сил у випадках Ата В (рис.2.3.2.1) можна замінити відношенням зміщень відбитого променя в приладі Кавендиша . (2.3.12)

Отже, шукана маса Землі дорівнює

(2.3.13)

Ми розглянули лише принцип досліду Кавендиша, опускаючи окремі технічні деталі досліду. Прилад Кавендиша, мовою сучасної техніки, був крутильними терезами з широким діапазо