Деление окружности на 3, 6 и 12 частей

Деление окружности на 4 и 8 частей

Деление окружности на равные части, построение правильных многоугольников

Построение углов

Один из возможных вариантов решения задачи — использова­ние транспортира.

Значение угла также может быть задано графически. Пусть тре­буется на прямой FG (рис. 1.11) построить угол с вершиной в точке О, равный углу AВС.

Из точек В и О, как из центров, опишем дуги окружностей произвольным радиусом R. Дуга, проведенная из точки В, пересе­кает стороны угла в точках D и Е, а дуга, проведенная из точ­ки О — в точках K и L. Измерив циркулем длину хорды DЕ, про­ведем дуги окружностей радиусом DЕ из точек К и L до пресече­ния их с окружностью с центром в точке О. Точки пересечения М и N, Р и V определяют направления сторон углов МОL, LОN, QОК и КОР, равных по значению заданному углу AВС. Таким об­разом, задача имеет четыре решения. Для получения однозначно­го решения в условии задачи необходимо уточнить положение ис­комого угла относительно прямой FG.

Достаточно точно можно разделить угол пополам или на лю­бое четное число частей. Пусть угол AВС (рис. 1.12), равный α, необходимо разделить пополам.

Из вершины угла В, как из центра, провести дугу окружности произвольным радиусом R₁, которая пересечет стороны угла в точ­ках D и Е. Из этих точек, как из центров, надо провести дуги окружностей произвольным радиусом R₂, пересечение которых в точке F даст возможность провести биссектрису ВF угла AВС и получить углы АВF и FВС, равные α/2.

Концы взаимно перпендикулярных диаметров АС и ВD (рис. 1.13) делят окружность с центром в точке О на 4 равные части. Соеди­нив концы этих диаметров, можно получить квадрат АВСD.

Если угол СОА между взаимно перпендикулярными диаметрами АЕ и СG (рис. 1.14) разделить пополам и провести взаимно перпен­дикулярные диаметры ОН и ВР, то их концы разделят окружность с центром в точке О на 8 равных частей. Соединив концы этих диамет­ров, можно получить правильный восьмиугольник АВСDЕFGН.

Для деления окружности на 6 частей используют равенство сто­рон правильного шестиугольника радиусу описанной окружности. Если задана окружность с центром в точке О (рис. 1.15) и радиу­сом R, то из концов одного из ее диаметров (точек А и D), как из центров, проводят дуги окружностей радиусом R. Точки пересече­ния этих дуг с заданной окружностью разделят ее на 6 равных частей. Последовательно соединив найденные точки, получают пра­вильный шестиугольник АВСDEF.

Если окружность с центром в точке О (рис. 1.16) необходимо разделить на 3 равные части, то радиусом, равным радиусу этой окружности, следует провести дугу лишь из одного конца диаметра, например точки О. Точки В и С пересечения этой дуги с заданной окружностью, а также точка А раз­делят последнюю на 3 равные час­ти. Соединив точки А, В и С, мож­но получить равносторонний треу­гольник ЛВС.

Чтобы разделить окружность на 12 частей, деление окружности на 6 частей повторяют дважды (рис. 1.17), используя в качестве центров кон­цы взаимно перпендикулярных диа­метров: точки А и G, D и J. Точки пересечения проведенных дуг с заданной окружностью разделят ее на 12 частей. Соединив построенные точки, можно получить правиль­ный двенадцатиугольник.