Логарифмические частотные характеристики.

Для инженерных расчётов более удобны амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики, построенные в логарифмическом масштабе. Это удобство заключается в том, что логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ или ЛАХ) можно складывать графически, а для новых динамических звеньев можно просто строить асимптотические ЛАЧХ, т.е. характеристики в виде ломаных линий из прямолинейных отрезков к которым асимптотически приближаются действительные ЛАЧХ.

ЛАЧХ или ЛАХ системы называют график функции L(ω) вида:

При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, т.е. lgω. За единицу измерения частоты принята логарифмическая единица - декада.

Декадой называют интервал частот, соответствующий изменению частоты в 10 раз.

На логарифмической шкале декада изображается отрезком единичной длины, т.к. lg10ω-lgω=1. Поэтому относительно логарифмической величины lgω логарифмическая шкала является равномерной, а относительно частоты ω неравномерной.

Логарифмической единицей усиления или ослабления сигнала при его прохождении через какое либо устройство при выражении десятичным логарифмом отношения мощности на выходе к мощности на входеявляется бел (Б).

Т.к. мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, то ,Б.

Т.к. бел является достаточно крупной единицей, то в теории автоматического управления за единицу измерения принят децибел( дБ),

1дБ=0,1Б.

С учётом этого

При А(ω)›1 ,L(ω)›0- усиление сигнала;

А(ω)=1 , L(ω)=0- отсутствие усиления;

А(ω)‹1 ,L(ω)‹0- ослабление сигнала;

Точка ω=0 лежит на оси частот слева в бесконечности, т.к.lg0=-∞. В связи с этим ось ординат проводят через любую точку на оси абсцисс, чтобы справа разместить нужную часть ЛАЧХ.

Логарифмическую фазо-частотную характеристику (ЛФЧХ) строят в системе координат с такой же ось абсцисс, что и у ЛАЧХ, а по оси ординат откладывают в линейном масштабе угол φ(ω) в градусах или в радианах.

ЛФЧХ строят обычно под ЛАЧХ так, чтобы можно было сопоставить изменение фазы с изменением амплитуды при одинаковых частотах.

Наклон отрезков асимптотической ЛАЧХ определяют в децибелах на декаду(дБ/дек).Они имеют положительный или отрицательный наклоны, кратные 20дБ/дек.

Рисунок 8.3 Примеры построения логарифмических частотных характеристик

Рассмотрим особенности ЛАХ в зависимости от характера АЧХ .

1)Пусть А(ω)=к₀ , тогда

L(ω)=20 lgA(ω)=20lgk₀ (0 дБ/дек)

2)Пусть А(ω)=к₁/ω, тогда

L(ω)=20lgk₁-20lgω (-20 дБ/дек)

ω_ср=к₁ ; ω=1 L(ω)=20lgk₁

3)Пусть А(ω)=к₂/ω², тогда

L(ω)=20lgk₂-40lgω (-40 дБ/дек)

ω_ср=к^1/2 ; ω=1 L(ω)=20lgk₂

4) Пусть А(ω)=к_n/ωⁿ, тогда

L(ω)=20lgk_n-n∙20lgω (-n∙20 дБ/дек)

ω_ср=к^1/n ; ω=1 L(ω)=20lgk_n

5) Пусть А(ω)=к₁∙ω, тогда

L(ω)=20lgk₁+20lgω (+20 дБ/дек)

ω_ср=1/к; ω=1 L(ω)=20lgk₁

6) Пусть А(ω)=к_n∙ωⁿ, тогда

L(ω)=20lgk_n+n∙20lgω (+n∙20 дБ/дек)

ω_ср=1/кⁿ; ω=1 L(ω)=20lgk_n