Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование простейших иррациональных функций

При интегрировании иррациональных функций обычно применяют рационализирующие подстановки, т.е. подстановки, позволяющие в подынтегральной функции освободиться от радикалов. Здесь и дальше будем полагать, что – рациональная функция от своих аргументов.

1. Рассмотрим интеграл

где – целые числа, – действительные числа. Рационализирующей подстановкой, позволяющей избавиться от всех радикалов, является подстановка , где – новая переменная, а – наименьшее общее кратное чисел

В частном случае интеграл имеет вид:

Здесь рационализирующая подстановка , где .

Пример.Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Так как здесь показатели корней 2 и 3, их наименьшее кратное 6. В этом случае сделаем замену , тогда .

Пример.Вычислить неопределенный интеграл:

Решение. Заметим, что . Наименьшим общим кратным знаменателей дробей является 6. Поэтому, если применить подстановку то

Таким образом, данный интеграл сведен к интегралу от рациональной функции. Для его нахождения выделим целую часть подынтегральной функции:

Таким образом, получим:

Возвратимся к старой переменной. Так как то .

Итак,

2. Рассмотрим интеграл вида

Данный интеграл вычисляется так же, как и интегралы от простейших дробей III типа: выделяется полный квадрат в подкоренном выражении и полученную в скобках сумму принимают за новую переменную.

Пример.Вычислить неопределенный интеграл

Решение

Здесь применялись: метод замены переменной, возведение функции под знак дифференциала и табличный интеграл 21.

Пример.Вычислить неопределенный интеграл:

Решение

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы:

1) 3)

2) 4)

Рассмотрим несколько случаев интегрирования тригонометрических выражений.

1. Интегралы

Чтобы вычислить эти интегралы, следует представить подынтегральное произведение в виде суммы, используя формулы:

Пример.Вычислить неопределенный интеграл:

Решение

2. Интегралы , где и – целые числа.

Интегралы такого вида наиболее просто вычисляются в следующих случаях:

1) n – нечетное положительное число, m – любое, применяется подстановка ;

2) m – нечетное положительное число, n – любое, применяется подстановка ;

3) n и m – четные положительные числа. В этом случае хороший результат дает применение формул:

Пример.Вычислить неопределенные интегралы:

1. 2.

Решение

1. Так как , то применим подстановку .

2. Так как , то применим подстановку .

Пример.Вычислить неопределенные интегралы:

1. 2.

Решение

1.

2.

3. Интегралы где – рациональная функция от и . Любой интеграл может быть сведен к интегралу от рациональной дроби универсальной тригонометрической подстановкой:

По формулам тригонометрии: получим:

Пример.Вычислить неопределенный интеграл

Решение

4. Интегралы где – рациональная функция от и .

Здесь следует использовать замену:

По формулам тригонометрии получим:

Пример.Вычислить неопределенный интеграл

Решение

5. Интеграл В этом случае применяют подстановку или , когда подынтегральная функция зависит от .

Пример.Вычислить неопределенный интеграл

Решение

6. Интеграл Здесь применяется подстановка

Пример.Вычислить неопределенный интеграл:

Решение

7. Интеграл Здесь применяется подстановка

Пример.Вычислить неопределенный интеграл

Решение

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4)