Преобразование подынтегральной функции к сумме функций

Метод непосредственного интегрирования

Таблица основных интегралов

Основные свойства неопределенного интеграла

Рассмотрим основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е.:

Доказательство. Так как где то дифференцируя левую и правые части этого равенства, получаем:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.:

Доказательство. По определению дифференциала и свойству 1 имеем:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т. е.:

где с – произвольное число.

Доказательство. Рассматривая функцию как первообразную для некоторой функции , можно записать

и на основании свойства 2 дифференциал неопределенного интеграла поэтому имеем

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

где a – некоторое число.

Доказательство. Пусть F(х) – первообразная для функции f (х), т. е.

Тогда aF(х) – первообразная для функции af (х):

Из определения следует, что

где с₁ = aс.

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т. е.:

Доказательство. Пусть и – первообразные для функций и , т. е. Тогда функции являются первообразными для функций Следовательно,

6. Неопределенный интеграл не зависит от переменной интегрирования, т. е., если выполняется:

то будет справедливо

Запишем таблицу основных интегралов. Так как действия дифференцирования и интегрирования являются взаимно обратными, то простейшую таблицу интегралов можно получить обращением таблицы производных. Дополним эту таблицу интегралами, наиболее часто встречающимися на практике. Заметим, результат интегрирования всегда можно проверить дифференцированием: если то

Приведенные в таблице интегралы назовем табличными, их необходимо знать наизусть.

В интегральном исчислении нет общего приема нахождения неопределенного интеграла. При интегрировании функций разными методами в конечном итоге интегралы всегда будут приводиться к одному или нескольким табличным. Рассмотрим методы интегрирования функций.

Под таким названием объединяются способы приведения интеграла к одному или нескольким табличным с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции, свойств неопределенного интеграла и таблицы основных интегралов. Рассмотрим несколько таких преобразований на примерах.

Пример.Вычислить неопределенные интегралы:

1.

2.

Решение. В этих примерах подынтегральные функции записаны в виде алгебраических сумм функций, поэтому для нахождения интегралов применим четвертое и пятое правила интегрирования и табличные интегралы. Тогда

1.

Применялись табличные интегралы 5, 8, 19, произвольные постоянные объединены в одну.

2.

Применялся второй табличный интеграл при значениях

С помощью действия дифференцирования легко проверить, что интегралы вычислены верно. Например, в первом примере:

Пример.Вычислить неопределенные интегралы:

Решение

Поскольку то воспользуемся формулой (20) при

Так как то используя формулу (18) при получаем:

Так как то используя формулу (21) при получаем:

Преобразуем подынтегральную функцию: перемножим скобки в числителе и почленно разделим числитель на знаменатель:

Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

Применялись табличные интегралы 1 и 18.

Учитывая, что и используя формулу (4) при получаем:

7. Так как то воспользуемся формулой (4) при а = 8, тогда

Пример.Вычислить неопределенные интегралы:

Решение

1.

Применялась формула тригонометрии и табличные интегралы 10 и 11.

2.

Применялась формула и табличные интегралы 1 и 7.

1.4.2. Вычисление неопределенного интеграла
с применением компенсирующего множителя

Если то где постоянные величины Формула легко проверяется дифференцированием. Множитель называется компенсирующим множителем.

Пример.Вычислить неопределенные интегралы:

Решение

здесь табличный интеграл 5.

здесь табличный интеграл 5.

здесь табличный интеграл 8.

1.4.3. Вычисление неопределенных интегралов введением функции
под дифференциал

Метод введения функции под знак дифференциала основан на равенстве

То есть, главной задачей является приведение подынтегральной функции к виду . Поэтому желательно иметь перед глазами таблицу производных и таблицу первообразных основных элементарных функций. Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.

Пример.Вычислить неопределенные интегралы:

1. ; 2. ; 3. .

Решение

1. Нам нужно вычислить неопределенный интеграл, используя метод введения функции под знак дифференциала. Из таблицы производных имеем , поэтому .

По таблице первообразных сразу приходим к ответу:

.

Немного поясним. Можно ввести переменную , тогда

.

Из таблицы первообразных для степенной функции видим, что .

Возвращаемся к исходной переменной:

.

Итак, .

2. Так как , поэтому можно записать или .

Следовательно, решение будет следующим:

3. Применим метод введения функции под знак дифференциала:

1.4.4. Вычисление неопределенных интегралов
с применением обобщенного второго табличного интеграла

Если во втором табличном интеграле , при заменить переменную интегрирования на дифференцируемую функцию , то получим следующую формулу:

или .

Пример.Вычислить неопределенные интегралы:

1. . 2. . 3. .

Решение

3.